1、解析几何常考要点与核心内容一 直线与圆要求：熟练掌握基础知识直线与方程，圆与方程，倾角，斜率，两直线平行与垂直的判定，圆的几何性质，点到直线距离公式等这一内容的相关题目一考查基础知识，基本技能为主复习时注意：熟练掌握直线方程的求法，注意点到直线距离公式的应用.注意利用圆的几何性质解决与圆有关的问题(提示：垂径定理，相交弦定理，切割线定理等).对称问题中点P与关于直线l对称的充要条件是：中点在l上且与l垂直.注意数形结合思想的应用.二 圆锥曲线曲线与方程：会利用已知条件求解曲线方程，求解时注意讨论取值范围.椭圆与双曲线：注意：椭圆与双曲线几何性质的异同.往往处理问题的方式是一样的.相关定义，如实
2、轴，虚轴，实半轴，虚半轴，长轴，短轴，长半轴，短半轴，离心率等.注意相关几何性质：第一定义，第二定义，对称性等.要求：会求解相关方程(这类题目在高考中常见).会求双曲线渐进线.注意求解离心率与离心率取值范围的题目(这类题目在高考中常见).解决焦点三角形相关问题时，利用好第一定义，余弦定理和面积公式.PS：设圆锥曲线上有一点P，圆锥曲线焦点分别为F1，F2，对于F1PF2注意以下三个式子：抛物线：注意：定义及方程形式，注意与二次函数yax2的区别与联系.当圆锥曲线方程确定时，焦半径长由焦点及焦半径与x轴所成角唯一确定.特别的：设P为抛物线y22px(p0)上一点，F为焦点，为PF与x轴正方向所成
3、的角，则有：.三 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线相切：主要考察抛物线的切线，要求会求切线(一般利用求导的方法).注：抛物线x22py(p0)中，过定点(m，0)(m0)的直线交抛物线于A，B两点.过A，B做抛物线的切线，交于点C则点C过定直线.注：圆锥曲线切线的一些性质：P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆焦点，则过P点的切线的法线平分(即切线平分的外角)P为双曲线 上一点，F1，F为其焦点，则过P点的切线平分F1PF2P为抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，则过P点的切线的法线平分PF与水平线(这里指与x轴平行的直线)的夹角.光学性质：抛物面镜，可将焦点处电光源发射的光反射成平行光.直线与
4、圆锥曲线有两个交点：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，题目主要以解答题形式出现.常见的有求弦长，焦点弦长，弦中点问题，取值范围最值等问题.希望同学们在解决问题时注意利用一元二次方程相关结论(判别式，韦达定理)，函数的性质(主要是单调性)，不等式，平面向量等知识. 这类题目重在考察学生基本的数学素质与数学能力，难度多为中等偏难题，运算量思维量大，综合性较强.注：常见问题的解决方法(这里设直线l截圆锥曲线F(x，y)0，交F(x，y)0于两点A(x1，y1)，B(x2，y2).)韦达定理弦长公式中点弦，弦中点AB中点M(x0，y0)与AB斜率的关系将A，B坐标代入圆锥曲线方程，这里以双曲线
5、为例，代入A，B坐标后得到二等式：二式相减，得利用平方差公式，化简后得到等式：从而有焦半径与焦点弦焦半径公式对于圆锥曲线C，P为C上一点，F为C的焦点，l为F相应准线.过F作FGl于G，设p为F到l的距离，为到的角.e为离心率，则PF的长满足推导还是比较简单的，这里以抛物线(抛物线的离心率e1)为例如图，设P为抛物线y22px(p0)上一点，F为焦点，为PF与x轴正方向(也就是)所成的角，过P作PMx轴于M，PP1准线l于P1.则|FG|p(焦点到准线的距离是p).|PP1|PF|(抛物线定义)，|PP1|GM|(垂直)所以|PF|GM|GF|FM|在RtFMP中，|FM|FP|cos，从而有
6、|PF|p|PF|cos，化简后即可得到当然，这只是(0，)时的情况，其他情况通过分类讨论也是容易得到的.焦点弦长公式由上面的公式，易知，若为焦点弦，则从而利用上面的焦点弦长公式，可得到公式特点：这一公式刻画了焦点弦长与所在直线倾角之间的关系.焦点弦与第二定义圆锥曲线C，F为C的焦点，l为F相应准线.交x轴于M，弦AB过F.如图，过A，B作l于，l于.设e为C的离心率此时，梯形为直角梯形.所以，由第二定义：从而所以由相似，我们可以得到MF平分AMB.当然，利用梯形的几何性质，我们还可以得到更多的结论，有兴趣的同学可以去研究一下.这里只给出这一简单的几何性质，目的是提示同学们注意这一以焦点弦为一
7、腰的直角梯形.不一定经过焦点的弦抛物线(1)注意直线与抛物线联立的特点设抛物线y22px(p0)与直线l：myxt交于A，B两点.l交x轴于(t，0)直线方程myxt(注意这样设直线的好处)与抛物线y22px联立后利用韦达定理可以得到x1x2t2，y1y22pt这时x1x2和y1y2由t决定，注意t的几何意义(直线myxn与x轴交点的横坐标)若t一定，则x1x2和y1y2为定值.(2)直线AB的方程可以直接利用AB的坐标表示.(利用两点式或点斜式设出直线方程代入A，B点坐标，注意A，B都在抛物线上，从而可以将直线方程化简)化简结果AB：四 综合问题圆锥曲线有关的最值，定值，参数的取值范围取值范
8、围问题注意：根据已知条件利用韦达定理，将几何问题转化为解含参数的不等式问题或不等式恒成立问题.过定点，有定向问题：利用韦达定理，积累二级定理公式这里提供一个定理，有兴趣的同学可以自己证明并将其推广：设P为圆锥曲线上一点，过P作圆锥曲线的两条弦PA，PB，交圆锥曲线于A，B两点当KPAKPB为定值或KPAKPB为定值时，弦AB过定点或有定向.(同学们可以先证明这一定理在抛物线中的情况，然后尝试推广到椭圆和双曲线)在复习解析几何时希望同学们注意选择适合自己的复习策略.在练习时注意要多练多算，解题时一定要动笔算，不能想出思路后就过了.记住，运算出错是因为你算的不够多，该犯的错误还没有犯够，解析几何中
9、尤其要注意练习运算能力.基础篇10课标 (15)过点A(4，1)的圆C与直线yx1相切于点B(2，1)，则圆C的方程为考点：直线与圆的方程规律方法：圆的几何性质解析：设圆心坐标为，由圆的几何性质，CB与直线yx1垂直且交yx1于B.同时，圆心在AB垂直平分线上，故圆心横坐标为3，即a3.CB斜率即，所以圆心坐标为C(3，0).，所以圆的方程为答案：(14)直线与圆相交于、B两点，则_.考点：直线与圆的方程规律方法：圆的几何性质点到直线距离公式解析：圆心为(0，0)，半径为圆心到直线的距离为故得|AB|答案：10广东12已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是_考点：直线
10、与圆的方程规律方法：圆的几何性质，点到直线的距离公式解析：设圆心为，则，解得答案：10江西8直线与圆相交于M，N两点，若，则k的取值范围是ABCD考点：直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，规律方法：数形结合的运用.， 解析：圆心的坐标为(3，2)，且圆与y轴相切.当时，利用垂径定理的图形，可得：弦心距2半弦长2r2.从而可知弦心距21所以0弦心距1再由点到直线距离公式，解得；答案：A10上海 3动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为_考点：考查抛物线定义及标准方程解析：定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p2所以其方程为y28x也可以利用距离公式求解，求得y28x答案：10福建 2以
11、抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()ABCD考点：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D答案：D10陕西 8已知抛物线的准线与圆相切，则的值为AB1C2D4考点：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系解析：抛物线y22px(p0)的准线方程为，因为抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，所以，答案：C10北京 13已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_.考点：椭圆与双曲线焦点坐标的
12、求法以及双曲线的渐近线解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为答案：，10全国 II (12)已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点若，则A1BCD2考点：本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.解析：设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，由，得，所以|AB|4|BF|，即，故选B. （将AB念成AE）答案：B10全国 II (15)已知抛物线：的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则_考点：本题主要考查抛物线的定义与性质.解析：
13、过B作BE垂直于准线于E，M为中点，又斜率为，M为抛物线的焦点，2.本题亦可以利用定比分点公式，设出A，B坐标，.利用题目条件可列出方程 ，即可求得结果p=2.答案：210课标 (12)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为，则的方程式为ABCD考点：利用点差法处理弦中点与斜率问题解析：设双曲线方程为，即，由，得又中点，即，所以，选B答案：B10浙江 (8)设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为ABCD考点：本题主要考察三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识
14、能力的考察解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，过做垂直于直线，垂足为E，=2a，根据等腰三角形性质，E为中点。然后利用勾股定理，解得，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C答案：C 10浙江 (13)设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_考点：抛物线的定义及几何性质解析：利用抛物线的定义结合题设条件，设F的坐标为，B点坐标为，带入抛物线方程，可得出的值为，B点坐标为所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题答案： 提高篇1设A，B是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A，B)为.对
15、于平面上给定的不同的两点A，B(1)若点是平面上的点，试证明；(2)在平面上是否存在点，同时满足 若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明考点：直线性质和绝对值不等式规律方法：分类讨论去绝对值负号解析：(1)由绝对值不等式知，当且仅当且时等号成立.(2)当点C(x，y)在以AB为对角线，边分别与x，y轴平行的长方形区域内，则满足，对分类讨论不妨设，当时即有从而C点轨迹为过AB中点且斜率为1的线段.当时即有从而C点轨迹为过AB中点且斜率为1的线段.当或时，C点的轨迹为线段AB的中点.2.（10福建 17）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点(
16、1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由考点：本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，规律方法：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想解析：，从而有，解得，又，所以，故椭圆的方程为(2)假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线与的距离4可得：，从而，所以直线不存在。3（10广东 20）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点(1)求直线与交点的轨迹的方程；(2)若过点的两直线和与轨迹
17、都只有一个交点，且求的值考点：主要考察直线、椭圆，双曲线等知识解析：(1)由，为双曲线的左右顶点知，：，：，两式相乘得，而点在双曲线上，所以，即故，即也可以这样解：由知，即从而E的方程为(2)设：，则由知，：将：代入得，即，由与E只有一个交点知，即同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，从而，即也可以这样解：利用几何性质，由图形可知：l1l2，l1，l2与E轨迹相切，且过点H.利用图形的对称性，我们可知l1，l2关于y轴对称.从而l1的斜率k1.y(0，)时E的方程为求导后，令1，可得到切点横坐标.从而可以得到l1的方程，H坐标为.(20)设，分别是椭圆：的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于
18、，两点，且，成等差数列(1)求的离心率；(2)设点满足，求的方程考点：本题主要考察直线、椭圆，双曲线等知识 解析：(I)由椭圆定义知，又，得的方程为，其中设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则，因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率(II)设AB的中点为，由(I)知，由，得，即得，从而，故椭圆E的方程为法二(1)利用题目所给的条件，得到焦点弦长. 利用焦半径公式其中为倾角或其补角，为焦点到准线的距离.代入得到其中，从而可得所以.下证焦点弦长公式：过A作左准线l于准线交x轴于K.过A作AMx轴于M，从而有|KF1|F1M|，即e|F1A|p|AF1|cos，整理得推导还是比较简单的，这里以
19、抛物线(抛物线的离心率e1)(2)由|PA|PB|可知P点在AB垂直平分线上，与中点相关，利用点差法及A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点N(x0，y0)与AB斜率的关系将A，B坐标代入椭圆方程，代入A，B坐标后得到二等式：二式相减，得利用平方差公式，化简后得到等式：从而有AB中垂线方程我们可以写为，N(x0，y0)满足x0y01.且由(1)问知e所以所以，即N(2，1)所以AB：.所以a，b3c，故椭圆E的方程为4.（10全国I ）(21)已知抛物线：的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.()证明：点F在直线BD上；()设，求的内切圆M的方程 .考点：本小题为解
20、析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，规律方法：综合运用数学知识进行推理论证，同时运用数形结合思想、设而不求思想.解析：设，的方程为.()设代入并整理得，从而 ，直线的方程为即 令，得所以点在直线上()由知，因为 ，故 ，解得 所以的方程为，又由知 故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为，因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为，.由得，或(舍去)，故 圆M的半径.所以圆M的方程为.注意：求平分线的其他的思路：求出方向向量即可.再利用B坐标亦可求出过B的平分线方程，这一直线
21、与x轴焦点即为圆心.同时本题中第一问有一推论：对于圆锥曲线C，F为焦点，l为F的准线，直线m交l于M，交c于A，B，则FM平分AFB或其外角.10安徽 19(本小题满分13分)已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，离心率()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程；()在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由考点：本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识规律方法：解析几何的基本思想即代数解法和几何解法，代数解法要提高运算能力。解析：()设椭圆的方程为，由，即，得椭圆方程具有形式.将代入上式，得，解得，椭圆的方程为()解法1：由()知，所以直线的方程为：，即直线的方程为：由点在椭圆上的位置知，直线的斜率为正数设为上任一点，则若，得(因其斜率为负，舍去)于是，由得，所以直线的方程为：解法2：，即()解法1：假设存在这样的两个不同的点和，设的中点为，则，由于在上，故 又，在椭圆上，所以有 与两式相减，得，即将该式写为，并将直线的斜率和线段的中点表示代入该表达式中，得，即 由得，即BC中点仅可能为A.从而满足条件的B，C不存在.
