1、第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系1.5 1.5 三角函数的应用三角函数的应用第1页，共21页。直角三角形两锐角的关系直角三角形两锐角的关系:直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系:bABCac特殊角特殊角3030,45,45,60,60 角的三角函数值角的三角函数值.直角三角形边与角之间的关系直角三角形边与角之间的关系:sin,aAc,coscbA,tanbaA勾股定理勾股定理 a a+b+b=c=c.两锐角互余两锐角互余 A+B=90A+B=90.锐角三角函数锐角三角函数互余两角之间的三角函数关系互余两角之间的三角函数关系:同角之间的三角函数关系同角之间的三角函数关系
2、:.cossintanAAA sinA=cosB sinA=cosBsinsin2 2A+cosA+cos2 2A=1.A=1.第2页，共21页。如图如图,海中有一个小岛海中有一个小岛A,A,该岛四周该岛四周1010nmilenmile内内暗礁暗礁.今有今有货轮由货轮由西向东航行西向东航行,开始在开始在A A岛南偏西岛南偏西55550 0的的B B处处,往东往东行驶行驶2020nmilenmile后后到达该岛的南偏西到达该岛的南偏西25250 0的的C C处处.之后之后,货轮货轮继续向东航行继续向东航行.要解决这个问题要解决这个问题,我们可我们可以将其数学化以将其数学化,如图如图:你认为货轮继
3、续向东航行途中会有触礁的危险吗你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是你是怎样想的？与同伴进行交流。怎样想的？与同伴进行交流。ABC北北东东第3页，共21页。交交BCBC的的延长线于点延长线于点D,D,如果如果AD10nmile,AD10nmile,则无触礁的危险则无触礁的危险.解解:要知道货轮继续向东航行途中有要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险无触礁的危险,只要过点只要过点A A作作ADBCADBCBAD=55BAD=550 0,CAD=25CAD=250 0,BC=20nmile.BC=20nmile.根据根据题意题意,可可知知,设设AD=xnmile,AD=xnmile,2
4、5tan,55tan00 xCDxBD.25tan,55tan00 xCDxBD.2025tan55tan00 xx.79.2025tan55tan2000nmilex20.79nmile20.79nmile10nmile10nmile货轮继续向东航行货轮继续向东航行途中没有触礁的危险途中没有触礁的危险.第4页，共21页。如图如图,小明想测量塔小明想测量塔CDCD的高度的高度.他在他在A A处仰望塔顶处仰望塔顶,测得测得仰角为仰角为30300 0,再往塔的方向前进再往塔的方向前进50m50m至至B B处处,测得仰角为测得仰角为60600 0,那么该塔有多高那么该塔有多高?(?(小明的身高忽略不
5、计小明的身高忽略不计,结果精确结果精确到到1m).1m).要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?想一想想一想第5页，共21页。DABC50m300600该该塔约有塔约有43m43m高高.解解:如图如图,根据题意根据题意可知，可知，A=30A=300 0,DBC=60,DBC=600 0,AB=50m.,AB=50m.设设CD=xCD=x,这这道题你能有更简单的道题你能有更简单的解法解法吗？吗？要解决这问题要解决这问题,我们仍需将其数学化我们仍需将其数学化.60tantan,tan0CDDBCCDBCBCCDDBCBCDRt中，在.30tantan,tan0C
6、DACDACACCDAACDRt中，在AC-BC=ABAC-BC=AB,5060tan30tan00CDCD解得解得 CDCD4343（m m）第6页，共21页。某商场准备改善原有楼梯的安全性能某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角把倾角由由40400 0减减至至35350 0,已知原楼梯的长度为已知原楼梯的长度为4m,4m,调整后的楼梯会加长调整后的楼梯会加长多少多少?楼梯多占多长一段地面楼梯多占多长一段地面?(?(结果精确到结果精确到0.01m).0.01m).做一做做一做要解决这问题要解决这问题,我们仍需将其我们仍需将其数学化数学化.ABCD4m350400第7页，共21页。如如图图,
7、根据题意根据题意可知，可知，A=35A=350 0,BDC=40,BDC=400 0,DB=4m,DB=4m.求求(1)AB-BD(1)AB-BD的长的长,(2)AD,(2)AD的长的长.,40sin10BDBCBCDRt中，）在解：（.40sin0BDBC,35sin0ABBCABCRt中，在答答:调整后的楼梯会加长约调整后的楼梯会加长约0.48m.0.48m.000sin404 0.64284.48.sin35sin350.5736BCBDABm.48.0448.4mBDABABCD4m350400第8页，共21页。,40tan20DCBCBCDRt中，）在（.40tan0BCDC,35t
8、an0ACBCABCRt中，在答答:楼梯多占约楼梯多占约0.61m0.61m一段地面一段地面.35tan0BCAC DCACAD0040tan135tan1BC00040tan135tan140sinBD.61.0mABCD4m350400第9页，共21页。如图如图,一灯柱一灯柱ABAB被一钢缆被一钢缆CDCD固定固定.CD.CD与地面成与地面成40400 0夹角夹角,且且DB=5mDB=5m.在在CDCD上方上方2m2m处加固另处加固另一条钢缆一条钢缆ED,ED,那么钢缆那么钢缆EDED的长度为多少的长度为多少?(?(结果精确到结果精确到0.01m).0.01m).EBCD2m4005m练习
9、练习将其数学化将其数学化.第10页，共21页。解解:如图如图,根据题意可知根据题意可知,CDB=40,CDB=400 0,EC=2m,DB=5m,EC=2m,DB=5m.BDE51.12BDE51.12,40tan0BDBCBCDRt中，在,12.51cos0DEDBBDERt中，在答答:钢缆钢缆EDED的长度约为的长度约为7.96m7.96m.40tan0BDBC)(1955.6240tan20mBDBCBE05tan402tan1.24.5BEBDEBD.96.76277.0512.51cos0mDBDE在在RtRtBDEBDE中，中，EBCD2m4005m第11页，共21页。如图如图,水
10、库大坝的截面是梯形水库大坝的截面是梯形ABCDABCD,其中其中ADADBC,BC,坝坝顶顶AD=6m,AD=6m,坡长坡长CD=8m,CD=8m,坡底坡底BC=30m,ADC=135BC=30m,ADC=135.(1)(1)求坡角求坡角ABCABC的的度数度数;(2)(2)如果坝长如果坝长100m,100m,那么那么建筑建筑这个这个大坝共需多少大坝共需多少土土石料石料?(结果精确到结果精确到0.01m0.01m3 3)第12页，共21页。解解：（：（1 1）过过点点D D作作DEBCDEBC于点于点E,E,过点过点A A作作AFBCAFBC于点于点F.F.ABC17ABC17821.821.
11、,2445sinDCDEEC则答答:坡角坡角ABCABC约为约为1717821.821.242424630,24BFDEAF,242424tanBFAFABCEF第13页，共21页。,2)2(得由梯形面积公式AFBCADS答答:修建这个大坝共需土石方约修建这个大坝共需土石方约10182.34m10182.34m3 3.27222436S.34.101822721001003mSVEF第14页，共21页。如图，有一斜坡如图，有一斜坡ABAB长长40m,40m,坡顶离地面的高度为坡顶离地面的高度为20m,20m,求求此斜坡的倾斜角。此斜坡的倾斜角。A=30A=300 0.有一座有一座建筑物，在地面
12、上建筑物，在地面上A A点测得其顶点点测得其顶点C C的仰角为的仰角为30300 0，向建筑物前进向建筑物前进50m50m到到B B点，又测得点，又测得C C的仰角为的仰角为45450 0，求建，求建筑物的高度（结果精确到筑物的高度（结果精确到0.1m0.1m）。）。高约高约68.3m.68.3m.第15页，共21页。如图，燕尾槽的横截面是梯形如图，燕尾槽的横截面是梯形ABCD,ABCD,其中其中ADADBC,AB=DC,BC,AB=DC,燕尾角燕尾角B=55B=550 0，外口宽，外口宽AD=180mm,AD=180mm,燕燕尾槽深度是尾槽深度是70mm,70mm,求它的里口宽求它的里口宽B
13、CBC（结果精确到（结果精确到1mm1mm）。）。BCBC278mm.278mm.第16页，共21页。如图，一艘货轮以如图，一艘货轮以36kn36kn的速度在海面上航行，当它行的速度在海面上航行，当它行驶到驶到A A处时，发现它的东北方向有一灯塔处时，发现它的东北方向有一灯塔B.B.货轮继续向货轮继续向北航行北航行40min40min后到达后到达C C处，发现灯塔处，发现灯塔B B在它北偏东在它北偏东75750 0方方向，求此时货轮与灯塔向，求此时货轮与灯塔B B的距离（结果精确到的距离（结果精确到0.01nmile0.01nmile）。）。;323675cos75sin00 BCBCANB的
14、垂线，得到作以过点如，可提示：解法不唯一。例约约33.94nmile.33.94nmile.也可以过点也可以过点C C作作ABAB的垂线，得到的垂线，得到两个特殊直角三角形，再利用两个特殊直角三角形，再利用A=45A=450 0，B=30B=300 0,求得求得BC.BC.第17页，共21页。如如图图,大楼高大楼高3030m m,远处有一塔远处有一塔BCBC,某人在楼底某人在楼底A A处测得塔处测得塔顶的仰角为顶的仰角为6060,爬到楼顶爬到楼顶D D处测得塔顶的仰角为处测得塔顶的仰角为3030,求求塔高塔高BCBC及大楼与塔之间的距离及大楼与塔之间的距离ACAC(结果精确到结果精确到0.01
15、0.01m m).).BC=45mBC=45m;AC25.98m.AC25.98m.第18页，共21页。解题思路导图解题思路导图 实际问题实际问题图形分析图形分析生活问题数学化生活问题数学化（构造直角三角形）（构造直角三角形）设未知量设未知量解答问题解答问题（构建三角函数模型）（构建三角函数模型）（代入数据求解）（代入数据求解）求解方程求解方程 数学问题数学问题 建立方程建立方程小结：学小结：学完本课后你有哪些完本课后你有哪些收获？收获？第19页，共21页。作业：作业：习题习题1.6 1、2、3、4题。题。第20页，共21页。有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明第21页，共21页。
