1、南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知，则_2复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的在第_象限3某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_4按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是_（第4题）（第13题）5抛物线的焦点坐标为_6若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从1，2两个数中任取的一个数，则关于的一元二次方程有实根的概率是_7已知某圆锥底面圆的半径，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的
2、体积为_8已知等差数列中，则的前10项和是_9已知函数，则的值为_10已知点A（0，3），直线l：y2x4，设圆C的半径为1，且圆心C在直线l上若圆C上存在点M，使得|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为_11已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_12已知，且，则的最大值为_13如图，已知，圆是以为圆心半径为1的圆，圆是以为圆心的圆设点，分别为圆，圆上的动点，且，则的取值范围是_14若，是函数，的两个极值点，且，则的取值范围为_二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的
3、指定区域内）15（本小题满分14分）已知a，b，c分别是ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos Bbcos A（1）求证：AC；（2）若b2，1，求sin B的值16（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD平面BCC1B1，ADDB求证：（1）BC平面ADD1A1；（2）平面BCC1B1平面BDD1B1（第16题）BACDD1B1A1C117（本小题满分14分）如图，圆是一半径为米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中两点在上，恰是一个正方形的四个顶点根据规划要求，在四点处安装四盏照
4、明设备，从圆心点出发，在地下铺设条到四点线路（1）若正方形边长为米，求广场的面积；（2）求铺设的条线路总长度的最小值（第17题）18（本小题满分16分）如图，已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，右准线方程为x4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线l与椭圆C相交于M，N两点（其中，M在x轴上方）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设线段MN的中点为D，若直线OD的斜率为，求k的值；（3）记AFM，BFN的面积分别为S1，S2，若，求M的坐标lxyFABOMNx4（第18题）19（本小题满分16分）已知函数f(x)lnx1，aR（1）若函数f(x)在x1处的切线为y2x
5、b，求a，b的值；（2）记g(x)f(x)ax，若函数g(x)在区间(0，)上有最小值，求实数a的取值范围；（3）若当a0时，关于x的方程f(x)bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围20（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立（1）当1时，求数列的通项公式；若求数列的前项的和Tn；（2）是否存在实数，使数列是等差数列如果存在，求出的值；若不存在，说明理由南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第卷（选做题，40分）21【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或
6、演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵M（1）求M；（2）求矩阵M的特征值和特征向量B选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB4（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上OyBxMACP
7、ll1l2（第22题）23（本小题满分10分）对于给定正整数，设，记（1）计算的值；（2）求南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1 2二 36 455 6 7 8912 10 11 1213 14二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）解：（1）由正弦定理2R ，得a2RsinA ，b2RsinB，c2RsinC，代入acosBbcosA，
8、得 (sinAcosBsinBcosA) cosCsinCcosA，2分即sin(AB)cosCsinCcosA因为ABC，所以sin(AB)sinC，所以sinCcosCsinCcosA，4分因为C是ABC的内角，所以sinC0，所以cosCcosA又因为A，C是ABC的内角，所以AC6分（2）由（1）知，因为AC，所以ac，所以cosB8分因为1，所以a2cosBa221，所以a2310分所以cosB12分因为B(0，)，所以sinB14分16（本小题满分14分）解：（1）因为AD平面BCC1B1，AD平面ABCD，平面BCC1B1平面ABCDBC，所以ADBC4分又因为BC平面ADD1A
9、1，AD平面ADD1A1，所以BC平面ADD1A16分（2）由（1）知ADBC，因为ADDB，所以BCDB，8分在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中DD1平面ABCD，BC底面ABCD，所以DD1BC，10分又因为DD1平面BDD1B1，DB平面BDD1B1，DD1DBD，所以BC平面BDD1B1，12分因为BC平面BCC1B1，所以平面BCC1B1平面BDD1B114分17（本小题满分14分）解：（1）连接，因为正方形边长为米，所以，则，所以，2分所以广场的面积为答：广场的面积为平方米6分（2）作于，于，记，则，8分由余弦定理得，12分所以,当且仅当时取等号，所以，因此求条小路的总长度的最小
10、值为米答：条小路的总长度的最小值为米14分18（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c0)依题意，且4，解得a2，c1故b2a2c23所以椭圆C的标准方程为14分（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1，1两式相减，得0，0，所以k()0，得k8分（3）由题意，即，整理可得，10分所以2代入坐标，可得，即12分又点M，N在椭圆C上，所以，解得所以M的坐标为(，)16分19（本小题满分16分）解：（1）f(x)，则f(1)1a2，解得a1，则f(x)lnx1，此时f (1)ln1110，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b2，所以a1，b22分（2）g(x)f(x)
11、axlnxax1，g(x)a当a0时，g(x)0，则g(x)在区间(0，)上为增函数，则g(x)在区间(0，)上无最小值4分当a0时，方程ax2xa0的判别式14a20，则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，由韦达定理得x1x21，则两根一正一负，不妨设x10x2设函数m(x)ax2xa(x0)，（i）若a0，若x2(0，) ，则m(0)a0 ，m()a0 ，解得0a此时x(0，x2)时，m(x)0，则g(x)递减；x(x2，)时，m(x)0，则g(x)递增，当xx2时，g(x)取极小值，即为最小值若x2，则x(0，)，m(x)0，g(x)在(0，)单调减，无最小值6分（ii）若a0，此
12、时x(0，x2)时，m(x)0，则g(x)递增；x(x2，)时，m(x)0，则g(x)递减，在区间(0，)上，g(x)不会有最小值所以a0不满足条件综上，当0a时，g(x)在区间(0，)上有最小值8分（3）当a0时，由方程f(x)bx2，得lnx1bx20，记h(x)lnx1bx2，x0，则h(x)2bx当b0时，h(x)0恒成立，即h(x)在(0，)上为增函数，则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)bx2至多只有一个实数根，所以b0不符合题意10分当b0时，当x(0，)时，h(x)0，所以函数h(x)递增； 当x(，)时，h(x)0，所以函数h(x)递减，则h(x)maxh()ln要
13、使方程f(x)bx2有两个不相等的实数根，则h()ln0，解得0b12分（i）当0b时，h()0 又()2()20，则，所以存在唯一的x1(，)，使得h(x1)014分（ii）h()ln1lnb1，记k(b)lnb1，0b，因为k(b)，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，则k(b)maxk(1)0，则h()0又()2()20，即，所以存在唯一的x2(，使得h(x2)0，综上，当0b时，方程f(x)bx2有两个不相等的实数根16分20（本小题满分16分）解：（1）若，因为，则，又，化简，得当时，得，即当时，时上式也成立，数列是首项为1，公比为2的等比数列，4分因为，所以，所
14、以，所以，所以8分（2）令，得令，得要使数列是等差数列，必须有，解得当时，且10分当时，整理，得，从而，化简，得，所以14分综上所述，所以时，数列是等差数列16分第卷（选做题，40分）21【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换解：（1） M 4分（2）矩阵M的特征多项式为f()(1)(3)令f()0，解得M的特征值为11，236分当1时， ，得令x1，则y1，于是矩阵M的一个特征向量为8分当3时， 3，得令x1，则y1，于是矩阵M的一个特征向量为因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对
15、应一个特征向量为，10分B选修44：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线与圆，4分易得直线与圆切于点Q，6分所以交点Q的极坐标是10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）解：（1）因为l过M(2，0)，且当l垂直于x轴时，AB4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得42p2，解得p12分（2）设直线l方程为：yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去x，得ky22y4k0，则y1y2，y1y244分因为C为AB中点，所以yC，则直线l1方程为：y6分因为直线l2过点M且与l垂直，则l2方程为：y(x2)，联立8分解得即P(1，)，所以，点P在定直线x1上10分23（本小题满分10分）解：（1）；4分（2）由二项式定理得， 因为，8分所以10分高三数学试卷 第 18 页 共 18 页
