1、增增 减减 温故知新思考思考1:1:在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？新知探究跳水运动中跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t(单位：秒单位：秒)存在函数关系：存在函数关系：h(t)=-4.9t 2+6.5t+10tho探究探究1 1：观察图，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ta h t单调递增Otb单调递减0)(th0)(th
2、0)(thah思考思考2：对：对于一般的函数于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？，是否具有同样的性质？探究探究2 2：如图，函数 在 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？,xa b c d e yf x yf x yf xy)(xfy xOabcdfe 以 两点为例，可以发现，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小，；而且在点 附近的左侧 0.类似地，函数 在点 的函数值 比它在点 附近的其他点的函数值都大，；而且在点 附近的左侧 0，右侧 0.yxaob yf x0)(xf0)(xf0)(xf0
3、)(af0)(bf,xa b yf xxa f axa=0fa fx fx yf xxb f bxb=0fbxb fx fxxa 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.我们把 叫做函数 的极小值点，叫做函数 的极小值；叫做函数 的极大值点，叫做函数 的极大值.yf x f a yf x yf xab yf x f b 在定义中在定义中,极值点是自变量的值极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值极值指的是对应的函数值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质局部性质.xxbf(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减xxaf(x)-0+f(x)单调递减极小
4、值单调递增yxaob yf x0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bf 如下图是函数 ，的图象，找出哪些是极小值，哪些是极大值？思考思考3 3：极大值一定比极小值大吗？yf x,xa b 结论：极大值结论：极大值与极小值之间无确定的大小关系与极小值之间无确定的大小关系.即一个函即一个函数的极大值未必大于极小值数的极大值未必大于极小值.图中 ，是极小值，是极大值 极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.思考思考4 4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗?可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.oxy 3f xx
5、例如，对于函数 ，我们有 .虽然 ，但由于无论 0,还是 0，即函数 在R上是增函数，所以0不是函数 的极值点.结论：一般地，函数结论：一般地，函数y=f(x)y=f(x)在一点的导数值为在一点的导数值为0 0是函数是函数y=f(x)y=f(x)在这点取极值的必要在这点取极值的必要条件，而非充分条件条件，而非充分条件.31.()44.3f xxx=-+例5 求函数的极值总结：求总结：求解函数极值的一般步骤：解函数极值的一般步骤：(1)求函数的定义域；列表)4(结论)5(左正右负极大值;左负右正极小值.(2)()fx求函数的导数并因式分解；(3)()0fx=求方程的根；练习练习.求求下列函数的极值下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令 ，解得 ；x+单调递增单调递增单调递减单调递减)121,(),121(1212449所以所以,当当 时时,有有极小值极小值121x.2449)121(f121x f x f x()fx0()0fx解:,0273)()2(2xxf令解得 ；123,3xx x(,3)3(3,3)3(3,+)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以,当当 时时,有有极大值极大值 54;当当 时时,有有极小值极小值 54.f x()fx23x 13x f x f x00
