2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册期末复习讲义数列(4份).rar

数学期末复习数列（五）数列综合练习1.已知数列na为等差数列，33a，3521211 aa求（1）na的通项；（2）令21nnab，nb的前n项和为nS，求证：123nnSn2.已知数列na，其前n项和为nS，321a，且nnnaSS21（2n）（1）计算,321SSS并猜想nS的表达式，（2）用数学归纳法证明猜想的结论。3.已知数列na的各项均为正数，11a，2221nnaa（1）求数列na的通项，（2）证明1211121 naaan对一切*Nn恒成立。4.已知点),(nnnbaP满足11nnnbaa，2141nnnabb，且点1P坐标为)1,1(（1）求过点21,PP的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于*Nn，点nP都在（1）中求得的直线l上5.（2019 年浙江省高考 20）设等差数列na的前n项和为nS，43a，34Sa，数列nb满足，对于每个*Nn，nnnnnnbSbSbS21,成等比数列，（1）求 数 列na，nb的 通 项；（2）记nnnbac2，*Nn，证 明：ncccn221 6.（选做）数列na中，21a，nnanna211（*Nn）（1）证明：数列nan是等比数列，并求数列na通项公式；（2）令nnnanab4，nb前n项和为nT，求证：2nT.7.（选做）（2020 年诸暨市模拟考 20）数列na是公差大于零的等差数列，31a，742,aaa成等比；数列nb满足)102()32(102211 nbababannn，（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记)21()21()21(21nnaaac ，比较nc与nb31的大小数学期末复习数列（二）数列通项常见的已知数列递推公式求数列通项公式 （*Nn,下不重复）1.数列的前n项和nS与通项na的关系na 11nnSSS)2()1(nn例 1.（1）已知数列na的前n项和为nS，nnSn322，求通项na；（2）已知数列na的前n项和为nS，1322nnSn，求通项na.例 2.已知数列na，满足213221333naaaann ，求通项na.2.叠加、叠乘型叠加型：)(1nfaann；叠乘型：)(1ngaann例 3.已知数列na，满足121naann，（2n），且11a，求na例 4.已知数列na，满足211nnaann，（2n），且11a，求na3.构造数列型（有单独出现项1na，则2n）（1）常数构造：BAaann1（0BA，1A）例 5.已知数列na，满足431nnaa，且21a，求na（以下选讲）（2）)(nf型构造：)(1nfAaann（0A，1A）例 6.已知数列na，满足naann321，且21a，则_na；例 7.已知数列na，满足nnnaa221，且21a，则_na；（3）指数型构造：knnaAa)(1（0A，0k且1k）例 8.已知数列na，满足31)(2nnaa，且21a，则_na；（4）倒数型构造：CBaAaannn11（0CBA）例 9.已知数列na，满足1311nnnaaa，且21a，则_na；（5）“兔子”型构造：nnnCaBaAa12（0CBA，且042 ACB）例 10.已知数列na，满足nnnaaa4312，且11a，22a，则_na；练习：1.已知数列an的前 n 项和 Sn3n2，则 an_；2.已知 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则_na；3.已知数列an满足11a，121)1(2 nnanaaa，（2n）则_na；4.已知数列an满足333313221naaaann ，则_na；5.已知数列an，满足nnaann211，（2n），且11a，则_na；6.已知数列an，满足nnnaa)31(1，（2n），且11a，则_na；7.已知数列an，满足431nnaa，（2n），且11a，则_na；8.已知数列an，满足0211nnnnaaaa，且21a，则_na；（以下选做）9.已知数列an，满足nnnnana21)11(1，且11a，则_na；10.已知数列an，其前 n 项和为 Sn，4232nnnaS，则_na；11.已知数列an，满足nnnaaa11312，且11a，则_na；12.已知数列an，满足nnnnaaa22312，且01a，12a，则_na；数学期末复习数列（三）数列求和一般情况下，可以求和的数列，先看清楚谁要求和（即na），再选择求和方法。一直套公式法：1.等差、等比数列求和公式；2.若2nan，则6)12)(1(nnnSn；3.若3nan，则22)1(nnSn.二分组求和法：形如nnncba，na前n项和为nS，则)()(2121nnncccbbbS 例 1.（1）已知数列na，232nnan，则其前n项和为nS=_；（2）已知数列na，|212|nan，则其前n项和为nS=_；（3）已知数列na，na 1231nn 为偶数）（为奇数）（nn，则其前n项和为nS=_；三倒序相加法：若数列na中，满足maaaaaannn 23121，则mnSn2例 2.已知函数244)(xxxf，)1()2()1(nnfnfnfSn ，则nS=_；四错位相减法：若数列nb为等差数列，nc为等比数列，nnncba，求na的前n项和nS例 3.已知数列na，满足13)12(nnna，求其前n项和nS=_.五裂项求和法：若数列na，其通项可表示为另一数列的前后项（或隔项）之差，（如1nnnbba），求nS.例 4.（1）已知数列na，满足2312nnan，求其前n项和nS=_.（2）已知数列na，满足21nnan，求其前n项和nS=_.练习：1.数列na，前n项和nS，则122211121111112 nnS=_；2.数列na，nnan3，则前n项和nS=_；3.等比数列：naaa,12 的和为M，则M=_；4.数列：,333,33,3的前n项和nS=_；5.数列na，满足|332|nann，则其前n项和nS=_；6.数列na，满足)34()1(1nann，则其前n项和nS=_；7.已知221)(xxf，)6()5()4()5(ffffM ，则M=_；8.数列na，满足1lnnnan，求则其前n项和nS=_；9.数列na，满足1)1(1nnnnan，求则其前n项和nS=_；10.（选做）数列na，满足)3)(2)(1(1nnnnan，求则其前n项和nS=_；11.（选做）已知数列na中，满足11a，tan（t为常数，且0t），nnnaaa4421，22221naaaM ，naaaS 41414121，则M_；S_；12.已知等差数列na，满足02a，1086aa，（1）求数列na的通项，（2）求数列21nna的前n项和nS.13.已知数列na中，11a，nnana21)11(2，（1）令nnnaab2111，求nb的前n项和nS，（2）（选做）求na的前n项和nT.数学期末复习数列（四）数列与数学归纳法数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题的证明方法。（数列与它很搭）证明步骤：（共两步）（1）验证当n取第一个值0n时，命题成立；（这个分数白拿的）（2）假设kn（0nk）时，命题成立，（空唠唠写一下的）证明1 kn时，命题也成立。（必须把上面假设着的当条件用进去，有点难度的）一与数列相关的小题类：例 1.（1）用数学归纳法证明：aaaaann 111212，（0a），验证1n成立时，等式左边为_；（2）若12131211)(nnf，（1n），则从kn 推证到1 kn时，右边应增加的项数为_；（3）若nnnnf2)2()1()(，则)()1(kfkf_.二与数列相关的大题类：（注意步骤、格式）例 2.已知数列na，其前n项和为nS，已知3nan，求证：22)1(nnSn例 3.已知数列na，其前n项和为nS，已知nan，求证：nnSn32例 4.正项数列na，其前n项和为nS，已知)1(21nnnaaS（1）求321,aaa，并猜想na的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.练习：1.已知数列na，其前n项和为nS，)2)(1(1nnnan，求证：421nnnaS2.已知数列na，其前n项和为nS，2nan，求证：6)12)(1(nnnSn3.已知数列na，其前n项和为nS，nnan21，求证：nSn4.（选做）已知数列na，其前n项和为nS，21nan，求证：2nS5.已知数列an的各项均为正数，a11，a2n1a2n2.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：1a11a21a31an 2n1对一切 nN*恒成立6.已知数列an，a13，an13an4an1(nN*)(1)求 a2，a3，a4的值，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想7.等比数列na，前n项和为nS，点),(nSn在函数rbyx（0b且1b）的图像上，（1）求r的值；（2）当2b时，记)1(log22nnab，证明：对任意*Nn，不等式11112211 nbbbbbbnn成立