1、函数的极值与最大（小）值-函数的极值 设函数设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区在某个区间内有导数，如果在这个区间内间内y0，那么函数，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如为这个区间内的增函数；如果在这个区间内果在这个区间内y0，得函数递增区间；，得函数递增区间；解不等式解不等式f(x)0，得函数递减区间，得函数递减区间.2.用导数求函数单调区间的步骤：用导数求函数单调区间的步骤：分条件。分条件。上单调递增的必要不充上单调递增的必要不充在在是是在在函数函数),()(0)(),()(.3 baxfxfbaxf 探究（一）：函数极值的有关概念探究（一）：函数极值的有关概念 探
2、究（一）：函数极值的有关概念探究（一）：函数极值的有关概念 思考思考1：下图为函数下图为函数yf(x)的图象，在点的图象，在点A，B处的处的函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？BAOxyab探究（一）：函数极值的有关概念探究（一）：函数极值的有关概念 思考思考1：下图为函数下图为函数yf(x)的图象，在点的图象，在点A，B处的处的函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？BAOxyab 点点A处的函数值比其处的函数值比其附近点的函数值都小；附近点的函数值都小；探究（一）：函数极值的有关概念探究（一）：函数
3、极值的有关概念 思考思考1：下图为函数下图为函数yf(x)的图象，在点的图象，在点A，B处的处的函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？BAOxyab 点点A处的函数值比其处的函数值比其附近点的函数值都小；附近点的函数值都小；点点B处的函数值比其处的函数值比其附近点的函数值都大附近点的函数值都大.点点x=a、x=b分别叫做函数分别叫做函数yf(x)的的极小值点极小值点和和极大值极大值点点，并统称为，并统称为极值点极值点。BAOxyab点点x=a处的函数值处的函数值f(a)叫做函数叫做函数yf(x)的的极极小值小值，点，点x=b处的函处的函数值数值f(
4、b)叫做函数叫做函数yf(x)的的极大值极大值，极大值，极大值和极小值统称为和极小值统称为极值极值。函数函数f(x)在点在点x0附近有定义，且对附近有定义，且对x0附近的所有附近的所有的点，都有的点，都有 (1)f(x)f(x0)，则，则f(x0)为函数为函数f(x)的极小值；的极小值；(2)f(x)f(x0)，则，则f(x0)为函数为函数f(x)的极大值；的极大值；BAOxyx0 x0思考思考2：函数的极大值都比极小值大吗？函数的极大值都比极小值大吗？思考思考2：函数的极大值都比极小值大吗？函数的极大值都比极小值大吗？OxyAB思考思考2：函数的极大值都比极小值大吗？函数的极大值都比极小值大
5、吗？不一定不一定 OxyAB探究（二）：函数极值的判定原理探究（二）：函数极值的判定原理 探究（二）：函数极值的判定原理探究（二）：函数极值的判定原理 思考思考1：下图中，在极大值点下图中，在极大值点A左右两侧函数的单调左右两侧函数的单调性分别如何？性分别如何？在在x0附近，当附近，当xx0，xx0，xx0时，时，f(x0)的取值的取值如何变化？如何变化？Ayf(x)Oxyx0探究（二）：函数极值的判定原理探究（二）：函数极值的判定原理 思考思考1：下图中，在极大值点下图中，在极大值点A左右两侧函数的单调左右两侧函数的单调性分别如何？性分别如何？在在x0附近，当附近，当xx0，xx0，xx0时
6、，时，f(x0)的取值的取值如何变化？如何变化？Ayf(x)Oxyx0左侧递增，右侧递减左侧递增，右侧递减.在在x0附近左侧附近左侧f(x)0，右侧右侧f(x)0，则，则f(x0)是极大值是极大值.思考思考3：下图中，在极小点值点下图中，在极小点值点B左右两侧函数的左右两侧函数的单调性分别如何？单调性分别如何？在在x0附近，当附近，当xx0，xx0，xx0时，时，f(x0)的取的取值如何变化？值如何变化？Byf(x)Oxyx0 思考思考3：下图中，在极小点值点下图中，在极小点值点B左右两侧函数的左右两侧函数的单调性分别如何？单调性分别如何？在在x0附近，当附近，当xx0，xx0，xx0时，时，
7、f(x0)的取的取值如何变化？值如何变化？Byf(x)Oxyx0左侧递减，右侧递增左侧递减，右侧递增.在在x0附近左侧附近左侧f(x)0，右侧右侧f(x)0，则，则f(x0)是极小值是极小值.思考思考5：函数函数f(x)在极值点的导数一定为在极值点的导数一定为0吗？导数吗？导数为为0的点一定是极值点吗？的点一定是极值点吗？思考思考5：函数函数f(x)在极值点的导数一定为在极值点的导数一定为0吗？导数吗？导数为为0的点一定是极值点吗？的点一定是极值点吗？可导函数在极值点的导数一定为可导函数在极值点的导数一定为0，导数为，导数为0的点的点不一定是极值点（可疑点）不一定是极值点（可疑点）.如果函数如
8、果函数yf(x)的导函数的导函数在在(a,b)的图象如图所示，的图象如图所示，则函数则函数yf(x)在区间在区间(a,b)内极小值点个数为内极小值点个数为_ 如果函数如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出的导函数的图象如图所示，给出下列判断：下列判断：函数函数yf(x)在区间在区间 内单调递增；内单调递增；函数函数yf(x)在区间在区间 内单调递减；内单调递减；函数函数yf(x)在区间在区间(4,5)内单调递增；内单调递增；当当x2时，函数时，函数yf(x)有极小值；有极小值；当当x 时，函数时，函数yf(x)有极大值有极大值则上述判断中正确的是则上述判断中正确的是_），（213-），
9、（321-21-例例1.4x4x31y)1(3的极值的极值求求+-=(2)求求y=(x2 1)3+1的极值的极值.例例2的极值的极值）求）求（的极值的极值求求x22exy4.21xx2y)3(-=-+=求极值的具体步骤：求极值的具体步骤：第一：求导数第一：求导数f(x).第二：令第二：令f(x)=0，求方程的根，求方程的根.第三：列表，检查第三：列表，检查f(x)在方程根左右的值的符号，如在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右都是正，在这个根处取得极
10、小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么或者左右都是负，那么f(x)在这个根处无极值在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点点是否是极值点.已知函数已知函数 f(x)=x3+ax2+b.若函数若函数f(x)在在x=0，x=4处取得极值，且极处取得极值，且极小值为小值为 1，求，求a、b的值；的值；例例2 已知函数已知函数 f(x)=x3+ax2+b.若函数若函数f(x)在在x=0，x=4处取得极值，且极处取得极值，且极小值为小值为 1，求，求a、b的值；的值；已知函数已知函数f(x)=x3-a(2x-1)在区
11、间在区间(0，1)内存在极内存在极小值，求实数小值，求实数a的取值范围的取值范围.例例2 变式训练变式训练 1.函数的极大、极小值的定义以及判别方法函数的极大、极小值的定义以及判别方法.2.求可导函数求可导函数f(x)的极值的三个步骤的极值的三个步骤.3.还有要弄清楚函数的极值是就函数在某一点附近的小还有要弄清楚函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续在这点处连续.4.可导函数极值点的导数为可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号极值点，要看这点两侧的导数是否异号.5.函数的不可导点可能是极值点函数的不可导点可能是极值点.
