1、内容索引知识网络考点突破真题体验1知识网络PART ONE2考点突破PART TWO一、等差(比)数列的基本运算1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小.2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.例1在等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；解设数列an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，an22n12n，nN*.(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解由(1)得a38，a5
2、32，则b38，b532.所以bn1612(n1)12n28，nN*.所以数列bn的前n项和反思感悟在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.解因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，跟踪训练1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；解得a1
3、1或a12.解因为a10，所以a12，(2)在(1)的条件下，若a10，求Sn.二、等差、等比数列的判定1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列.2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)求b1，b2，b3；将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；解bn是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：所以bn是首项为1，公比为2的等比数列.(3)求数列an
4、的通项公式.反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法(2)中项公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列.(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列.(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是公比不为1的等比数列.(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解得t11N*，所以a1a2是数列an中的第11项.三、等差、等比数列的性质及应用1.等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调
5、性、最值及其前n项和的性质，利用性质求数列中某一项等.试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档.2.借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养.例3(1)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示数列an的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是A.21 B.20 C.19 D.18解析由a1a3a5105得，3a3105，a335.同理可得a433，da4a32，ana4(n4)(2)412n.使Sn取得最大值的n是20.(2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1
6、128，则m .又由am1am12am0(am0)，从而am2.4则22m1128，故m4.反思感悟等差数列等比数列若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则aman2ap若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则amanam，amk，am2k，仍是等差数列，公差为kdam，amk，am2k，仍是等比数列，公比为qk若an，bn是两个项数相同的等差数列，则panqbn仍是等差数列若an，bn是两个项数相同的等比数列，则panqbn仍是等比数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比数列(
7、q1或q1且m为奇数)解析设S奇a1a3a15，S偶a2a4a16，则有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d，(2)在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列的前13项和为A.13 B.26C.52 D.156解析3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，四、数列求和1.数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度中等.2.通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.(1)求数列an的通项公式
8、；当n1时，a11，S11成立.所以ann(nN*).解由(1)知f(x)x2x2nxn，反思感悟数列求和的常用类型(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sna1a2an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减即可求出Sn.(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.(4)并项求和法：与拆项
9、分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论.(1)求数列an的通项公式an；由于an是正项数列，所以an2n，nN*.3真题体验PART THREE1.(2020全国)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8等于A.12 B.24 C.30 D.3212345解析设等比数列an的公比为q，所以a6a7a8(a1a2a3)q512532.2.(2020全国)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k等于A.2 B.3 C.4 D.5
10、12345解析a12，amnaman，令m1，则an1a1an2an，an是以a12为首项，q2为公比的等比数列，an22n12n.又ak1ak2ak1021525，123452k125，k15，k4.4解析设等差数列an的公差为d，由a23a1，12345解析设等比数列an的公比为q，1234512345解设an的公差为d.由S9a5，即9a5a5，所以a50，得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n，nN*.5.(2019全国)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围.12345由a10知d0，化简得n211n100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nN*.
