1、5.3.1 5.3.1 函数的单调性函数的单调性 通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.利用导数研究函数的单调性.直接引入直接引入问题1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h(t)=-9.8t+4.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.2449 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么
2、区别？如何从数学上刻画这种区别？探究新知探究新知观察图象可以发现：(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h(t)0.(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h(t)0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；当t(a,b)时，h(t)0在区间(a,b)上，h(t)0探究新知探究新知在(-,0)上，f(x)单调递减在(-,0)上，f (x)0探究新知探究新知在(-,0)上，f(x)单调递增在(-,0)上，
3、f (x)0 xyOf (x)3x2在(0,+)上，f(x)单调递增在(0,+)上，f (x)0 xyOf(x)x3(3)探究新知探究新知在(-,0)上，f(x)单调递减在(-,0)上，f (x)0在(0,+)上，f(x)单调递减在(0,+)上，f (x)0函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0)处切线的斜率在x=x0处f(x0)0函数y=f(x)的图象上升，在x=x0附近单调递增切线“左下右上”上升在区间上，f(x)单调递增f(x0)0f(x)在x0附近切线切线“左下右上左下右上”探究新知探究新知导数f(x1)在区间上，f(x)0函数y=f(x)的图象在点(x1,f(x1)处切线的斜率在
4、x=x1处f(x1)0函数y=f(x)的图象下降，在x=x1附近单调递减切线“左上右下”下降在区间上，f(x)单调递减f(x1)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.概念形成概念形成思考：如果在某个区间上恒有f(x)=0，那么函数f(x)有什么特性？例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）33fxxx；sin0 f xxx x,；1.xfxx解:（1）因为 ，其定义域为 .所以所以，函数 在 上单调递增，如右图所示.33fxxx 2233 31fxxx0.33fxxxRR典例分析
5、典例分析解:（2）因为 ，所以所以，函数 在 上单调递减，如右图所示.cos1fxx0.sin,0 f xx x x,sinfxxx0,典例分析典例分析例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）33fxxx；sin0 f xxx x,；1.xfxx解:（3）因为 ，所以所以，函数 在区间 和 上分别单调递增，如右图所示.21fxx0.11,00,fxxx 11f xx,00,典例分析典例分析例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）33fxxx；sin0 f xxx x,；1.xfxx解:(1)因为f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.所以其对称轴方程为x=
6、1，又因为f(x)的图象开口向上，所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.1.判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.巩固练习巩固练习解:(2)因为f(x)=ex-x，其定义域为R.所以f(x)=ex-1.令f(x)=0，得x=0所以当x(-,0)时，f(x)0.所以，函数f(x)=ex-x在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增.巩固练习巩固练习1.判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.例2 已知导函数的下列信息：当1x0；当x4时，f(x)0；当x=1，或x=4
7、时，f(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当1x0，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；当x4时，f(x)0，可知f(x)在区间(-,1)和(4,+)都单调递减；当x=1，或x=4时，f(x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”典例分析典例分析2.函数y=f(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.解：由图可知，当x(0,a)时，函数f(x)的图象没有升降，所以f(x)=0当x(a,b)时，函数f(x)的图象是下降的，所以f(x)0当x(b,c)时，函数f(x)的图象没有升降，所以f(x)=0巩固练习巩固练习小结2.利用导函数的正负画函数图像的大致形状；利用函数图象判断导函数的正负，进而画出导函数图象的大致形状.1.函数 的单调性与导函数 的正负之间具有如下的关系：在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递增；在某个区间 上，如果 ，那么函数 在区间 上单调递减.fx fxab，0fx yfxab，ab，0fx yfxab，3.利用导函数的正负判断函数 的单调性的一般步骤.fx课堂小结课堂小结
