1、4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识点一等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式SnSn知识点二等比数列前n项和的性质1数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列2若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)3若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶
2、a1a2a3a4a2na2n1(q1)1等比数列前n项和Sn不可能为0.()2若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.()3若aR，则1aa2an1.()4若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0且q1，nN*)，则此数列一定是等比数列()一、等比数列前n项和公式的基本运算例1在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；(2)a1a310，a4a6，求S5；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求公比q.反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q
3、为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论跟踪训练1在等比数列an中(1)若a1，an16，Sn11，求n和q；(2)已知S41，S817，求an.二、利用错位相减法求数列的前n项和例2求数列的前n项和反思感悟错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出S
4、n与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况跟踪训练2已知等比数列an满足：a1，a1，a2，a3成等差数列，公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn.三、等比数列前n项和的性质例3(1)在等比数列an中，若S27，S691，则S4_.(2)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.(3)若数列an是等比数列，且其前n项和为Sn3n12k，则实数k_.延伸探究本例(3)中，若将条件改为“若数列an是等
5、比数列，且其前n项和为Snan15”，再求实数a的值反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质跟踪训练3(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则a9a10a11a12等于()A8 B6 C4 D2(2)一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式1在数列an中，已知an12an，且a11，则数列an的前5项的和等于()A25
6、 B25 C31 D312等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于()A. B.C. D.3设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于()A34 B23C12 D134已知在等比数列an中，a3，S3，则a1_.5若等比数列an的公比为，且a1a3a9960，则an的前100项和为_1知识清单：(1)等比数列前n项和公式(2)利用错位相减法求数列的前n项和(3)等比数列前n项和的性质2方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论3常见误区：(1)忽略q1的情况而致错(2)错位相减法
7、中粗心出错(3)忽略对参数的讨论1在等比数列an中，a12，a21，则S100等于()A42100 B42100 C4298 D421002设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B C. D.3若等比数列an的前n项和Sn2n1a，则a3a5等于()A4 B8 C16 D324设Sn为等比数列an的前n项和，若27a4a70，则等于()A10 B9 C8 D55已知an是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且
8、9S3S6，则数列的前5项和等于()A.或5 B.或5C. D.6若等比数列an的前n项和Sn23nr，则r_.7已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn93，an48，公比q2，则项数n_，a1_.8设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_9等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求数列an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.10.已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.11
9、在等比数列an中，a14，q5，则使Sn>107的最小正整数n的值是()A11 B10C12 D912等比数列an的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n2)，则Tn的最大值为()A. B. C1 D213设数列an的前n项和为Sn，称Tn为数列a1，a2，a3，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，a5的“理想数”为()A1 673 B1 675 C. D.14已知数列an的前n项和为S
10、n，a11,2Snan11，则Sn_.15设数列an的前n项和为Sn，点(nN*)均在直线yx上若bn则数列bn的前n项和Tn_.16已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和参考答案 例1解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn.(2)方法一由题意知解得从而S5.方法二由(a1a3)q3a4a6，得q3，从而q.又a1a3a1(1q2)10，所以a18，从而S5.(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两个根从而或又Sn126，所以q2或.跟踪训练1解
11、(1)由Sn得，11，q2，又由ana1qn1得，16(2)n1，n5.(2)若q1，则S82S4，不符合题意，q1，S41，S817，两式相除得171q4，q2或q2，a1或a1，an2n1或(2)n1.例2解设Sn，则有Sn，两式相减，得SnSn，即Sn1.Sn22(nN*)跟踪训练2解(1)设等比数列an的公比为q，a1，因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2a1a3，即得4q28q30，解得q或q，又因为q(0,1)，所以q，所以ann1.(2)根据题意得Sn13(2n1)，Sn13(2n3)(2n1)，两式相减得Sn122(2n1)(2n1)，所以Sn33，nN*例3答案(1)2
12、8(2)2(3)解析(1)数列an是等比数列，且易知公比q1，S2，S4S2，S6S4也构成等比数列，即7，S47,91S4构成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)>0，S428.(2)由题意知S奇S偶240，S奇S偶80，S奇80，S偶160，q2.(3)Sn3n12k33n2k，且an为等比数列，32k0，即k.延伸探究解由Snan15，可得Sn3an5，依题意有3a50，故a.跟踪训练3（1）答案C解析S4，S8S4，S12S8成等比数列即1,2，a9a10a11a12成等比
13、数列a9a10a11a124.（2）解设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以有q.又因为a1a1qa1q264，所以aq364，即a112，故所求通项公式为an12n1，nN*.1.答案D解析因为an12an，且a11，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列an的前5项的和为31.2.答案C解析当x1时，Snn；当x1且x0时，Sn.3.答案A解析在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，S15S5，得S15S534
14、，故选A.4.答案或6解析方法一当q1时，a1a2a3，满足S3.当q1时，依题意，得解得综上可得a1或a16.方法二所以a1a23，所以2，所以q1或q.所以a1或a16.5.答案80解析令Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则S100XY，由等比数列前n项和性质知q，所以Y20，即S100XY80.1.答案C解析q.S1004(12100)4298.2.答案A解析易知q1，因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6，所以a7a8a9.3.答案C解析等比数列an的前n项和Sn2n1a，n2时，anSn
15、Sn12n1a(2n2a)，化简得an2n2.则a3a522316.4.答案A解析设数列an的公比为q，由27a4a70，得a4(27q3)0，因为a40，所以27q30，则q3，故10.5.答案C解析设数列an的公比为q，显然q1，由已知得，解得q2，数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为.6.答案2解析Sn23nr，由等比数列前n项和的性质得r2.7.答案53解析由Sn93，an48，公比q2，得解得8.答案2解析由题意知2SnSn1Sn2，若q1，则Snna1，式子显然不成立，若q1，则有2，故2qnqn1qn2，即q2q20，q2.9.解(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1
16、a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由已知可得a1a123，故a14.从而Sn10.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*)由题意知：当n1时，b1b21，故b22.当n2时，bnbn1bn.整理得，又，所以bnn(nN*)(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*)11.答案A解析由题意可知在等比数列an中，a14，q5，Sn5n1.Sn>107，5n1>107，n>10.01，n为正整数，n11，故n的最小值为1
17、1.12.答案D解析设数列an共有(2m1)项，由题意得S奇a1a3a2m1，S偶a2a4a2m，因为项数为奇数时，q，即2q，所以q.所以Tna1a2anaq12n1故当n1或2时，Tn取最大值，为2.13.答案D解析因为数列a1，a2，a5的“理想数”为2 014，所以2 014，即S1S2S3S4S552 014，所以数列2，a1，a2，a5的“理想数”为.14.答案解析当n1时，则有2S1a21，a22S112a113；当n2时，由2Snan11得出2Sn1an1，上述两式相减得2anan1an，an13an，得3且3，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，Sn.15.答案解析依题意得n，即Snn2n.当n2时，anSnSn12n；当n1时，a1S1，符合an2n，所以an2n(nN*)，则由329，可知bn为公比为9的等比数列，b13219，故Tn.16.解(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n，nN*.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sna1，.所以，得a111.所以Sn，所以数列的前n项和Sn，nN*.
