1、学习目标XUE XI MU BIAO1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一等比数列的概念1.定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q0).2前比同一个公比思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与
2、b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab.思考当G2ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列.知识点三等比数列的通项公式若等比数列an的首项为a1，公比为q，则an (nN*).a1qn1知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列an的公比为q，则ana1_ am_ .其中当中m1时，即化为.qn1qnmlqn1.数列1，1,1，1，是等比数列.()2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.()3.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.()4.常数列一定为等比数列.()思考辨析
3、判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、等比数列中的基本运算例1在等比数列an中：(1)a11，a48，求an；解因为a4a1q3，所以8q3，所以q2，所以ana1qn12n1.(2)an625，n4，q5，求a1；故a15.(3)a2a518，a3a69，an1，求n.又an1，反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.跟踪训练1在等比数列an中：(1)若它的前三项分别为5，15,45，求a5；所以
4、a5405.(2)若a42，a78，求an.2532n二、等比中项的应用例2如果1，a，b，c，9成等比数列，那么b_，ac_.39解析因为b是1，9的等比中项，所以b29，b3.又等比数列奇数项符号相同，得b0).跟踪训练2在等比数列an中，a116，a48，则a7等于A.4 B.4 C.2 D.2解析因为a4是a1与a7的等比中项，即6416a7，故a74.三、等比数列通项公式的推广及应用例3在等比数列an中.(1)已知a34，a716，且q0，求an；122n又q0，a1q.由2(anan2)5an1得，2an(1q2)5qan，an0，2(1q2)5q，a1q，且an为递增数列，反思感
5、悟(1)应用anamqnm，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q0.跟踪训练3已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于A.21 B.42 C.63 D.84解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142.四、灵活设元求解等比数列问题例4(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_.45解析(1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则
6、a1，aq1，aq24，aq313成等差数列.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.所以a3216.所以a6.由题意知第4个数为12q6.故所求的四个数为9,6,4,2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟几个数成等比数列的设法推广到一般：奇数个数成等比数列设为(2)四个符号相同的数成等比数列设为推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.跟踪训练4在2和20之间插入两个数，使前三个
7、数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为a2a200，解得a4或a5.3随堂演练PART THREE1.在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为12345123452.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于A.6 B.6 C.12 D.12ab6.3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为A.4 B.8 C.6 D.3212345解析由等比数列的通项公式得，12842n1,2n132，所以n6.123454.等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an等于A.(2)n1 B.(2n1)C.(2)n D.
8、(2)n解析设公比为q，则a1q48a1q，又a10，q0，所以q38，q2，又a5a2，所以a20，a50，从而a10，即a11，故an(2)n1.5.在等比数列an中，a12，a38，则数列an的公比为_，通项公式为an_.123452当q2时，ana1qn12(2)n1(2)n；当q2时，ana1qn122n12n.(2)n或2n1.知识清单：(1)等比数列的概念.(2)等比数列的通项公式.(3)等比中项的概念.(4)等比数列的通项公式推广.2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.课堂小结KE TANG XIAO JIE3.常见误区：(1)x，G，y成等比数列G2xy，但G
9、2xyx，G，y成等比数列.(2)四个数成等比数列时设成 aq，aq3，未考虑公比为负的情况.(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错.4课时对点练PART FOUR1.在数列an中，若an13an，a12，则a4为A.108 B.54 C.36 D.18基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为an13an，所以数列an是公比为3的等比数列，则a433a154.12345678910 11 12 13 14 15 16所以a4与a8的等比中项为a64.解析a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍去)，a4a5(a3a4)q27.3
10、.在等比数列an中，an0，且a1a21，a3a49，则a4a5的值为A.16 B.27 C.36 D.8112345678910 11 12 13 14 15 164.数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为设数列an的公差为d，则d0，所以(a12d)2a1(a16d)，所以a12d，12345678910 11 12 13 14 15 16A.22n1 B.2n C.22n1 D.22n312345678910 11 12 13 14 15 16由等比数列的定义知数列an是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an2
11、4n122n1.6.若an为等比数列，且a3a44，a22，则公比q_.12345678910 11 12 13 14 15 161或27.已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，且a1_，d_.解析a2，a3，a7成等比数列，1(a12d)2(a1d)(a16d)，即2d3a10.又2a1a21，3a1d1.12345678910 11 12 13 14 15 168.已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.解析由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，12345678910 11 12 13 14 15 1
12、612345678910 11 12 13 14 15 169.在等比数列an中，a332，a58.(1)求数列an的通项公式an；12345678910 11 12 13 14 15 16所以 q12.当 q12时，ana3qn33212n328n；12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.在等比数列an中：(1)已知a32，a58，求a7；所以q24，所以a7a5q28432.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)已知a3a15，a5a115，求通项公式an.解a3a1a1(q21)5
13、，a5a1a1(q41)15，所以q213，所以q24，所以a11，q2，所以ana1qn1(2)n1.11.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad等于A.3 B.2 C.1 D.2综合运用解析y(x1)22，b1，c2.又a，b，c，d成等比数列，adbc2.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析方法一a3，a5的等比中项为a4，a42.12345678910 11 12 13 14 15 16方法二a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，解得q2，12345
14、678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c2成等比数列，则a等于A.2 B.2 C.8 D.8故a2或a8.12345678910 11 12 13 14 15 1614.若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则an的通项公式是_.an3(1)n1解析由an2Sn3得an12Sn13(n2)，两式相减得anan12an(n2)，anan1(n2)，又a13，故an是首项为3，公比为1的等比数列，an3(1)n1.拓广探究12345678910 11 12 13
15、14 15 1615.已知在等差数列an中，a2a416，a11，a21，a41成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为_.275或8解析设公差为d，由a2a416，得a12d8，由a11，a21，a41成等比数列，得(a21)2(a11)(a41)，化简得a1d1或d0，当d3时，an3n1.由题图可得第10行第11个数为数列an中的第92项，a923921275.当d0时，an8，a928.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.设数列an是公比小于1的正项等比数列，已知a18，且a113,4a2，a39成等差数列.(1)求数列an的通项公式；12345678910 11 12 13 14 15 16解设数列an的公比为q.由题意，可得an8qn1，且0q1.由a113,4a2，a39成等差数列，知8a230a3，所以64q308q2，12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若bnan(n2)，且数列bn是单调递减数列，求实数的取值范围.解bnan(n2)(n2)24n，由bnbn1，得(n2)24n(n3)23n，即n1，所以(n1)min2，故实数的取值范围为(，2).
