1、4.3.2 4.3.2 等比数列的等比数列的前前n n项和公式项和公式 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.创设情境创设情境你想得到什么样的赏赐？陛下赏小人几粒麦子就搞定.OK第一格放1粒麦子，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子西萨西萨国王国王6332643216422221 aa
2、aaS问题问题1 1：每一格的麦粒数每一格的麦粒数 an 构成什么数列？构成什么数列？问题问题2 2：国王答应奖赏给发明者西萨的总麦粒数用式国王答应奖赏给发明者西萨的总麦粒数用式子怎么表示？子怎么表示？an为以1为首项，2为公比的等比数列.探究新知探究新知问题问题3 3：总麦粒数总麦粒数S64怎么求？怎么求？探究探究S64的求法的求法:6332643242321222212221221211SSSSS1-264探究新知探究新知1-21541-2731-2321-21大家猜想大家猜想S S6464应应该等于多少？该等于多少？63326422221S64633264222222 S126464S可
3、将两式相减，消去这些相同项，得探究新知探究新知问题问题4 4：S64进行怎样的变形能出现进行怎样的变形能出现2 26464？问题问题5 5：根据两式我们如何求出根据两式我们如何求出S64的值呢？的值呢？等式两边乘等式两边乘上的上的2 2是此数是此数列的什么？列的什么？6153,709,551,446,744,071812S6464，问题解决：问题解决：假定千粒麦粒的质量为假定千粒麦粒的质量为40克，据查，克，据查，20162017年年度世界年度小麦产量约为度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言否能实现他的诺言.探究新知探究新知7
4、3007300多亿吨多亿吨国王的诺言不能实现！国王的诺言不能实现！112111nnqaqaqaaSnqSnnqaqaqaqa111211)1()-1(1nnqaSqnnnqaaqSS11-),2()1(得11naSqn 时，当(1)(2)qqaSqnn1)1(,11时当qqaan11错位相减法错位相减法1-q是否为零？是否为零？讨论公比讨论公比q是否为是否为1探究：探究：类比类比上面求和的方法能否得到上面求和的方法能否得到等比数列前等比数列前n项和公式呢？项和公式呢？探究新知探究新知111,1(1),111nnnnaqSaa qaqqqq11(1),1nnaqa q nSq已知则11,1nnn
5、aa qa a qSq已知则等比数列前等比数列前n项和公式：项和公式：探究新知探究新知注意注意 (1)(1)等比数列求和时，应考虑等比数列求和时，应考虑q=1与与q1两种情况两种情况.(2)(2)推导等比数列前推导等比数列前n项和公式的方法：项和公式的方法：错位相减法错位相减法.(3)(3)步骤步骤:乘公比乘公比，错位写错位写，对位减对位减.典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析不要忘记考不要忘记考虑虑q=1与与q1两种情况两种情况.(2)24(1)35141312111qaqaqaqaqaa2,8)1()2(3qq可得73)1(21aq式可得代入将192987aaa解法1：典例分析
6、典例分析？则则，已已知知等等比比数数列列987654321243aaaaaaaaaan,例例3 3321aaa)(3213654aaaqaaa)(6543987aaaqaaa3(2)(3)(1)(2)q192987aaa(1)(2)(3)解法2：3S36-SS69-SS两式相除：两式相除：实现实现整体消元的目的整体消元的目的成等比数列，69363,SSSSS证明：,23,211112311121nananaSSnananaSSnaSqnnnnn 时，当1232成等比数列，公比为，nnnnnSSSSS典例分析典例分析.1 232数列的公比成等比数列，并求这个，证明：项和为，前的公比已知等比数列n
7、nnnnnnSSSSSSnqa例例4 4nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnqSSSSSqqSSSSSSSSSqqqqaqqaqqaSSSqqqqaqqaqqaSSqqaSq成等比数列，公比为，为常数，时，当2322232221213123112121),(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1 1.na已知数列是等比数列;,901,31,7.2)2(1nnSaqa求若.,2923)4(133qaSa与求，若9145nS 11311=622qaqa,或,1(1)3,2,6,;naqnS若求;,64,1)3(441Sqaa与求若189nS 44
8、,51qS 巩固练习巩固练习1112212.,0.,.nnnnnnnababnNabaabababbab已知且对于证明：11,nncacaqb证设等比数列的为明首项为公比：12211111111 1 .nnnnnnnnnnabanSaa b ababbabaa bb其前项和为巩固练习巩固练习 213,6,630.nnnnanSaaaaS3.设等比数列的前 项和为已知求 和1464.4.已知三个数成等比数列，它们的和等于，积等于求这个等比数列的首项和公比113,23 2,321nnnnaqaS 当时，()112,32 3,31nnnnaqaS当时，1118,2,2.2aqaq；或巩固练习巩固练习5.如果一个等比数列前5项和等于10,前10项的和等于50,求这个数列的公比.1055105511115,41qSqqqqSq 当时，不合题意；当时，510515510,.naS SS SqS等比数列中成等比数列，公比为巩固练习巩固练习55105550 104,410SSqqS解法1：解法2：1.掌握等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）.2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）.111,(1)(1),(1)11nnnnaqSaa qaqqqq课堂小结课堂小结
