1、4.2.1等差数列的概念（2）讲课人：邢启强2定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个于同一个常数常数，这个数列就叫做这个数列就叫做等差数列等差数列这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。等差数列的通项公式等差数列定义等差数列定义复习引入复习引入如果一个数列如果一个数列那么那么,1a,2a,3a,na，dnaan)1(1是等差数列，它的公差是是等差数列，它的公差是d，讲课人：邢启强3推导等差数列通项公式的方法叫做推导等差数列通项公式的方法叫做 法法.累加累加 每一
2、项与每一项与它前一项的差它前一项的差 等差数列等差数列 几何意义几何意义通项通项公差公差定义定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数.【说明说明】数列数列 an 为等差数列为等差数列 ；an+1-an=d 或或an+1=an+dd=an+1-an公差是公差是 的常数；的常数；唯一唯一an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点等差数列各项对应的点都在同一条直线上都在同一条直线上.复习引入复习引入讲课人：邢启强423(1)等差数列等差数列8，5，2，的第，的第20项是项是 ；(2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第 项是项是-401；(3)已知已知
3、an为等差数列，若为等差数列，若a1=3，d=，an=21，则，则n=；(4)已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a10=，d=，则，则a3=.2532-4910013613 复习引入复习引入讲课人：邢启强5典型例题典型例题例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列an.由题意可知，10年之内（含10年）,这台设备的价值应不小于（2205%=
4、)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用an的通项公式列不等式求解。讲课人：邢启强6典型例题典型例题例2.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=8,在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2)b29是不是数列an的项？若是,它是an的第几项？若不是，说明理由.分析：(1)an是一个确定的数列，只要把a1,a2表示为bn中的项，就可以利等差数列的定义得出bn的通项公式；解：(1)设数列bn的公差为d.由题意可知，b1=a1,b5=a2,于是b5-b1=a2-a1=8.因为b5-b1=4d,所以4d=
5、8,所以d=2.所以bn2+(n-1)2=2n(2)数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13.项，这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列cn则cn=4n-3.令4n-3=29,解得n=8.所以，b29是数列an的第8项.所以，数列bn的通项公式是bn2n.你还有其他解决方法吗？(2)设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.法2：由b29=an得8n-6=58解得n=8.讲课人：邢启强7梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽，最低一级宽110，中间还有，中间还有10级，各级的宽度级，各级的宽度成等差数列
6、成等差数列.计算中间各级的宽计算中间各级的宽.用用 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，na解：解：由已知条件，有由已知条件，有12,110,33121 naa由通项公式，得由通项公式，得daa)112(112 代入解得代入解得d=7=7则则,407332 a,477403 a,544 a,615 a,686 a,757 a,828 a,899 a,9610 a,10311 a巩固练习巩固练习讲课人：邢启强8典型例题典型例题分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证。证明：设数列an的公差为d,则ap=a1+(p-
7、1)d,aq=a1+(q-1)d,as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d.所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d,as+at=2a1+(s+t-2)d.因为p+q=s+t,所以ap+aq=as+at.讲课人：邢启强9等差数列的基本性质等差数列的基本性质：在等差数列在等差数列an中，若中，若p+q=s+t，则，则 ap+aq=as+at【说明说明】上面命题的逆命题上面命题的逆命题是不一定成立是不一定成立的；的；上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有相同数目相同数目的项，如的项，如a1+a2=a3？推广的通项公式推广的通项公式(n-m)d daamnmnaamn 在等差数列
8、在等差数列an中，若中，若m+n=2p，则，则am+an=2ap总结结论总结结论讲课人：邢启强10例例4.在等差数列在等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+q；(3)若若a12=23，a42=143，an=263，求，求n.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0d=4,n=72典型例题典型例题讲课人：邢启强11等等差差中中项项 三个数成等差数列，可设这三个数为：三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b b、c c成等差数列成等差数列,则则 _2ba _b与与a的等差中项是的等差中项是即即a、b的算术平
9、均数的算术平均数.2b=a+ca,a+d,a+2d 或或 a-d,a,a+d例例5(1)已知已知a,b,c成等差数列成等差数列,求证求证:ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；也成等差数列；(2)三数成等差数列三数成等差数列,它们的和为它们的和为12,首尾二数的积为首尾二数的积为12,求此三数求此三数.典型例题典型例题讲课人：邢启强12例例6.在等差数列在等差数列an中中(1)a6+a9+a12+a15=20，则，则a1+a20=；(2)a3+a11=10，则，则a6+a7+a8=；(3)已知已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187,求求 a14及公差及公差d.典型例题典型
10、例题1017讲课人：邢启强13例7.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.典型例题典型例题讲课人：邢启强14300 5001.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1，则则 a 等于（等于（)A.1 .1 B.-1 .-1 C.-.-D.31115A2.在数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=.(-3a-5)-(a-6-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：提示：提示：d=an+1-an=-43.在等差数列在等差数列an中中a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？-35d=5,提示：提示：an=78+5n52845244 nn=45，46，8440巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15四、小结：
