1、问题提出问题提出 1.(ab)2和和(ab)3展开后分别等于什么？展开后分别等于什么？(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3.探究探究(一一)：二项式定理二项式定理 思考思考1：将将(ab)2(ab)(ab)按多项式乘法法则按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取中不取b，取一个，取一个b和一个和一个a，取二个，取二个b的项数用组合数分的项数用组合数分别怎样表示？由此可得别怎样表示？由此可得(ab
2、)2的展开式是什么？的展开式是什么？20212 2222()abC aC abC b+=+思考思考2：类似地，将类似地，将(ab)3(ab)(ab)(ab)按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不取项？其中不取b，取一个，取一个b和二个和二个a，取二个，取二个b和一个和一个a，取三个取三个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(ab)3的展开式是什么？的展开式是什么？3031222333333()abC aC a bC abC b+=+思考思考3：在在(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的展
3、的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得系数分别是什么组合数？由此可得(ab)4的展开式是的展开式是什么？什么？4041322 2334 444444()abC aC a bC a bC abC b+=+思考思考4：根据归纳推理，你能猜测出根据归纳推理，你能猜测出(ab)n(nN*)的展开式是什么吗？的展开式是什么吗？n0nnkknkn22n2n11n1n0n0nnbaC.baC.baCbaCbaC)ba(+=+-总结总结：公式公式叫做叫做二项式定理二项式定理，等式右边叫做，等式右边叫做二项展开式二项展开式，
4、其中各，其中各项的系数项的系数 (k0，1，2，n)叫做叫做二项式系数二项式系数.式中式中 叫二项展开式的叫二项展开式的通项通项，用，用表示，即：表示，即：knCn0nnkknkn0n0nnbaC.baC.baC)ba(+=+-kknknbaC-1kT+kknkn1kbaCT-+=思考思考5：根据二项式定理，根据二项式定理，(1x)n(nN*)等于什么？等于什么？思考思考6：(ab)n(nN*)的展开式是什么？的展开式是什么？思考思考5：根据二项式定理，根据二项式定理，(1x)n(nN*)等于什么？等于什么？0122(1)nkknnnnnnnxCC xC xC xC x+=+LL思考思考6：(
5、ab)n(nN*)的展开式是什么？的展开式是什么？01122 2()(1)nnnnnnnnnnnabC aC abC abC b-=-+-+-L思考思考7：二项展开式在结构上有哪些基本特征？二项展开式在结构上有哪些基本特征？思考思考7：二项展开式在结构上有哪些基本特征？二项展开式在结构上有哪些基本特征？1、共有、共有n1项；项；2、字母、字母a的最高次数为的最高次数为n且按降幂排列；且按降幂排列；3、字母、字母b的最高次数为的最高次数为n且按升幂排列；且按升幂排列；4、各项中、各项中a与与b的指数幂之和都是的指数幂之和都是n；5、每项的二项式系数为、每项的二项式系数为knC思考思考8：(2x3
6、y)20的二项展开式的通项是什么？的二项展开式的通项是什么？思考思考9：(12x)7的展开式中第的展开式中第4项的二项式系数项的二项式系数和系数分别是什么？和系数分别是什么？二项式系数：二项式系数：，系数：系数：.思考思考8：(2x3y)20的二项展开式的通项是什么？的二项展开式的通项是什么？20120(2)(3)kkkkTCxy-+=思考思考9：(12x)7的展开式中第的展开式中第4项的二项式系数项的二项式系数和系数分别是什么？和系数分别是什么？二项式系数：二项式系数：，系数：系数：.3735C=378280C=注意：注意：正确区分二项式系数与项的系数正确区分二项式系数与项的系数二项式系数与
7、项的系数是两个不同的概念，前者二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关；后者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关；后者与二项式、二项式的指数及项数均有关与二项式、二项式的指数及项数均有关.变式训练变式训练1变式训练变式训练2(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题分两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.找到展开式中特定项的组成部分找到展开式中特定项的组成部分.分别求解再相乘分别求解再相乘,求和求和即可得即可得.(2)三项或三项以上的展开式问题
8、应根据式子的特点三项或三项以上的展开式问题应根据式子的特点,转转化为二项式来解决化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决有些题目也可转化为计数问题解决),转转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合项与项结合时要注意合理性与简捷性时要注意合理性与简捷性.点睛点睛小结作业小结作业1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中其中n是正整数，是正整数，a，b可以任意取值，也可以是代数式可以任意取值，也可以是代数式.2.(ab)n的展开式统一规定按的展开式统一规定按a的降幂排列，各项的降幂排列，各项的系数与的系数与a，b的取值有关，各项的二项式系数与的取值有关，各项的二项式系数与a，b的取值无关的取值无关.3.二项展开式的通项是研究二项二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中的第开式中的第 k1项项.对于求展开式中某些特定的项，一对于求展开式中某些特定的项，一般要分析通项中字母的幂指数来解决般要分析通项中字母的幂指数来解决.1knkkknTC ab-+=随堂小练随堂小练
