1、7.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值7.3 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征1.复习复习一般地，设离散型随机变量一般地，设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为x1，x2，xn，我们，我们称称X取每一个值取每一个值xi的概率的概率为为X的的概率分布列概率分布列(list of probability distribution)，简称，简称分布列分布列.()1 2iiP Xxp in ,(1)离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:01 2ipin ,；
2、(2)离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质121.nppp 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较考试成绩，通常会比较平均成绩平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数平均环数或总环数)以及以及稳定性稳定性.因此，类似于研究一因此，类似于研
3、究一组数据的组数据的均值和方差均值和方差，我们也可以研究，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差离散型随机变量的均值和方差，它们，它们统称为统称为随机变量的数字特征随机变量的数字特征.问题问题1 甲、甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数环数X78910甲射中的概率甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢如何比较他们射箭水平的高低呢?类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等平
4、均环数相等，再，再看看稳定性稳定性.环数环数X78910甲射中的概率甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率乙射中的概率0.150.250.40.2假设甲射箭假设甲射箭n次，射中次，射中7环、环、8环、环、9环和环和10环的频率分别为环的频率分别为甲甲n次射箭射中的平均环数为次射箭射中的平均环数为3124nnnnnnnn，.312478910.nnnnxnnnn 当当n足够大时，足够大时，频率稳定于概率频率稳定于概率，所以，所以 稳定于稳定于x7 0.18 0.29 0.310 0.49.即甲射中平均环数的稳定值即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值理论平均值)为为9，这个平均值的大小可
5、以，这个平均值的大小可以反映反映甲运动员的射箭水平甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为同理，乙射中环数的平均值为7 0.158 0.259 0.410 0.28.65.从平均值的角度比较，从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高甲的射箭水平比乙高.2.随机变量的均值随机变量的均值一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示，Xx1x2 xnPp1p2 pn则称则称11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望，数学期望简称数学期望简称期望期望.均值均值是随机变量是随机变量可能取
6、值关于取值概率的可能取值关于取值概率的加权平均数加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的的概率，反映了随机变量取值的平均水平平均水平.例例1 在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1次得次得1分，不中得分，不中得0分分.如果某运动员罚球命如果某运动员罚球命中的概率为中的概率为0.8，那么他罚球，那么他罚球1次的得分次的得分X的均值是多少的均值是多少?由题意得，由题意得，X的分布列为的分布列为 解：解：(0)0.2P X ，(1)0.8P X .()0 0.21 0.80.8.E X 即该运动员罚球即该运动员罚球1次的得分次的得分X
7、的均值是的均值是0.8.一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从服从两点分布两点分布，那么，那么()0(1)1.E Xppp 例例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为设出现的点数为X，求，求X的均值的均值.由题意得，由题意得，X的分布列为的分布列为 解：解：1()1 2 3 4 5 6.6P Xkk ,111111()1234563.5.666666E X 即点数即点数X的均值是的均值是3.5.观察观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为的均值为3.5.随机模拟这个试随机模拟这个试验，重复验，重复60次和重复次和重复3
8、00次各做次各做6次，观测出现的点数并计算平均数次，观测出现的点数并计算平均数.根据观根据观测值的平均数测值的平均数(样本均值样本均值)绘制统计图，分别如图绘制统计图，分别如图(1)和和(2)所示所示.观察图形，在观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?观察图形可以发现观察图形可以发现:在这在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数它们都在掷出点数X的均值的均值3.5附近波动，且重复掷附近波动，且重复掷300次的样本均值波动次的样本均值波动幅度明显小于重复幅度明显小于
9、重复60次的次的.事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值计随机变量的均值.探究探究 如果如果X是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化会怎样变化?即即E(Xb)和和E(aX)(
10、其中其中a,b为常数为常数)分别与分别与E(X)有怎样的关系有怎样的关系?设设X的分布列为的分布列为()1 2iiP Xxp in ,根据随机变量均值的定义，根据随机变量均值的定义，1122()()()()nnE Xbxb pxb pxb p112212()()nnnx px px pb ppp().E Xb类似地，可以证明类似地，可以证明()().E aXaE X 一般地，下面的结论成立：一般地，下面的结论成立：()().E aXbaE Xb解：解：课本课本66页页 1.已知随机变量已知随机变量X的分布列为的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求求E(X)；(2)求求E
11、(3X+2).(1)()1 0.12 0.33 0.44 0.15 0.12.8.E X (2)(32)3()23 2.8210.4.EXE X解：解：课本课本67页页2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，反面向上得1分，求得分分，求得分X的均值的均值.由由题题意意得得()(1)0.51 0.50.E X (1)0.5P X ，(1)0.5.P X 由题意可得，由题意可得，X的可能取值为的可能取值为0，1000，3000，6000，则，则X的分布列为的分布列为 解：解：例例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制
12、成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表时获得相应的公益基金如表7.3-3所示所示.(0)0.2P X ，(1000)0.8 0.40.32P X ，规则如下规则如下:按照按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首一首.求嘉宾获得的公益基金总额求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值的分布列及均值.歌曲歌曲ABC猜对的概率猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额
13、获得的公益基金额/元元100020003000(3000)0.8 0.6 0.60.288P X ，(6000)0.8 0.6 0.40.192.P X X的均值为的均值为()0 0.21000 0.323000 0.2886000 0.1922336.E X 例例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时元，遇到小洪水时要损失要损失10000元元.为保护设备，有以下为保护设备，
14、有以下3种方案种方案:方案方案1 运走设备，搬运费为运走设备，搬运费为3800元；元；方案方案2 建保护围墙，建设费为建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；元，但围墙只能防小洪水；方案方案3 不采取措施不采取措施.工地的领导该如何决策呢工地的领导该如何决策呢?解：解：设方案设方案1、方案、方案2、方案、方案3的总损失分别为的总损失分别为X1，X2，X3.采用方案采用方案1，有，有1(3800)1.P X 采用方案采用方案2，有，有2(62000)0.01P X ，2(2000)0.99.P X 采用方案采用方案3，有，有3(60000)0.01P X ，3(10000)0.25P
15、 X ，3(0)0.74P X .1()3800E X，2()62000 0.012000 0.992600E X ，3()60000 0.0110000 0.250 0.743100E X .因此因此,从期望损失最从期望损失最小的角度小的角度,应采取方案应采取方案2.值得注意的是，上述结论是通过比较值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失期望总损失”而得出的而得出的.一般地一般地，我们可以这样来理解，我们可以这样来理解“期望总损失期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到将会使总损失减到最小最小.不过，因为洪水是否
16、发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的也不一定是最好的.解：解：课本课本67页页 3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出内生产出的次品数分别为的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为，其分布列分别为由由题题意意得得1()0 0.41 0.32 0.23 0.11E X ，甲机床次品数的分布列甲机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20
17、.1X2012P0.30.50.2哪台机床更好哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义请解释你所得出结论的实际含义.2()0 0.31 0.52 0.20.9E X .由此可知，由此可知，1h内甲机床平均生产内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所个次品，所以乙机床相对更好以乙机床相对更好.1.离散型随机变量的均值：离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示，Xx1x2 xnPp1p2 pn则称则称11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望，数学期望简称数学期望简称期望期望.()().E aXbaE Xb2.均值的性质：均值的性质：3.随机变量随机变量X服从服从两点分布两点分布，则有，则有()0(1)1.E Xppp 小结：小结：
