1、7.4.2 超几何分布超几何分布 （选择性必修第三册第七章）复习引入复习引入1.分布列：分布列：:,),2,1(,21表示如下以表格的形式的概率取每一个值可能取的不同值为若离散型随机变量一般地iiiniPxXPnixXxxxxX XP1p2p ipnp1x2xixnx.,2,1,.,分布列的表示也用等式有时为了表达简单的简称为的量上表称为离散型随机变XnipxXPXXii 概率分布列分布列复习引入复习引入2.两点分布，两点分布，n重伯努利试验3.二项分布，则若),(pnBX(1)(),0,1,2,.kkn knC ppP Xkkn nnqpC00111nnqpCknkknqpC0qpCnnn，
2、则若),(pnBXXP01kn问题情景问题情景不服从二项分布X,4,3,2,1,0可能的取值为XXP01234410049208CCC410039218CCC410029228CCC410019238CCC410009248CCC问题问题.已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的次品数为X,求随机变量X的分布列.如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08，此时XB(4,0.08).如果采用不有放回抽样,那么抽到4件产品中次品数的分布列为X.4,3,2,1,0)(41004928kCCCkXPkk解：解：从100件产品中任取4件结果数为4100Ck
3、kCC4928从100件产品中任取4件，其中恰有 件次品的结果为k从100件产品中任取4件，其中恰有 件次品的概率为41004928)(CCCkXPkkk学习新知学习新知 一般地,假设N件产品中有M件次品,随机抽取n件(不放回)，恰有X件次品,则X的分布列为nNknMNkMCCCkXP)(.,min,0max,MnrMNnmNnNMNMNn其中1.1.公式中字母的含义公式中字母的含义N总体中的个体总数M总体中的特殊个体总数(如次品总数)n样本容量k样本中的特殊个体数(如次品数)2.2.根据题意列式计算根据题意列式计算,不必机械记忆不必机械记忆3.“3.“任取任取n件件,恰有恰有k件次品件次品”
4、是一次性抽取是一次性抽取,用组合数列式用组合数列式.4.4.各对应的概率和必须为各对应的概率和必须为1.).,2,1,(rmmmk超几何分布 如果X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布超几何分布.小试牛刀小试牛刀【做一做】设10件产品中,有3件次品,现从中任取5件,用X表示抽得次品的件数,则X服从参数分别为(即定义中的N,M,n)的超几何分布.答案:10,3,5【做一做】从装有3个红球、2个白球的盒子中任取2个球,且抽到每个小球的概率相同,则恰有1个红球的概率为()A.0.6B.0.2C.0.3D.0.4答案:A 例题讲解例题讲解解:.3,2,1,0)(103010273kC
5、CCkXPkk另解:例1.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.设抽取的10个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且=30,=3,=10,的分布列为至少有1件不合格的概率为20314620362034520395)3()2()1()1(103072733103082723103092713CCCCCCCCCXPXPXPXP2031462035711)0(1)1(1030102703CCCXPXP例2.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物,根据现行国家标 准GB30952012,PM2.5日均值在
6、35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据,记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求X的分布列102.51)3(PM记“从这天的日均监测数据中，随机抽出
7、天，恰有一天空气质量达到一级”解为事件A.1237310()C CP AC2140（2）由条件知，X服从超几何分布，随机变量X可能取值为0，1，2，3337310(),(0,1,2,3).kkC CP XkkC0337310(0)C CP XC7.241237310(1)CCP XC21.402137310(2)C CP XC7.403037310(3)C CP XC1.120X故 的分布列为XP012372421407401120探究新知探究新知探究:nNknMNkMCCCkXP)(,即NMp 令NnMnpXE)(猜想.,2,1,)(rmmmkCCCkXPnNknMNkM由rmknNknMN
8、kMCCCkXE)(,得rmknNknMNkMCCCM11)(11kMkMMCkC所以因为,111nNknMNrmkkMCCC11()rkn kMN Mnk mNMCCECXnNnNCMC11nPNnM服从超几何分布的随机变量的均值是什么?超几何分布均值NnMnpXE)(nNknMNkMCCCkXP)(.,min,0max,MnrMNnmNnNMNMNn其中).,2,1,(rmmmk 若X服从超几何分布,)1()()(2NNnNMNnMXD 若X服从超几何分布,例题讲解例题讲解解:.20,2,1,0,6.04.0)(20201kCkXPPkkkk204060220100(),0,1,2,20.
9、kkkC CPP XkkC例例3.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2)分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.(1)对于有放回摸球,由题意知(20,0.4),的分布列为对于不放回摸球,由题意知服从超几何分布，的分布列为例题讲解例题讲解例例3.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估
10、计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.解(2).20,0,6.04.0)(20201kCkXPPkkkk204060220100(),0,20.kkkC CPP XkkC20,20Xf样本中黄球的比例是一个随机变量 根据下表计算得)106()1.04.0(:20XPfP有放回摸球.7469.020:(0.40.1)(610)P fPX不放回摸球.7988.0采用不放回摸球估算的结果更可靠些 例题讲解例题讲解0.050 0.100.150.200.25两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布.这两种分布的均值相等都等于8.当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小,此时，超
11、几何分布可以用二项分布近似.但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.巩固提升巩固提升二项分布与超几何分布区别和联系二项分布与超几何分布区别和联系1.1.区别区别一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.2.2.联系联系当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布.巩固提升巩固提升练习练习1：学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.练习练习2：50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张
12、，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？练习练习3：在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列巩固提升巩固提升练习练习4：袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的两球中白球的个数，求X的分布列，并求至少有一个白球的概率练习练习5：一袋中有7个大小相同的小球，其中有
13、2个红球,3个黄球，2个蓝球，从中任取3个球.(1)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率.(2)设X表示取到的蓝色小球的个数,求X的分布列和数学期望.课堂小结课堂小结.,2,1,)(rmmmkCCCkXPnNknMNkM2.2.超几何分布的均值超几何分布的均值NnMnpXE)(1.1.超几何分布超几何分布3.3.二项分布与超几何分布区别和联系二项分布与超几何分布区别和联系一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布.7.4.2 超几何分布（选择性必修
14、第三册第七章）感谢聆听，再会101P XP XP X56165 练习1：学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.解:设甲班恰有X人被选到,则X服从超几何分布,且N=12,M=4,n=4,2248412(2)C CP XC变式变式:求甲班至多1名同学被选到的概率.413848441212CC CCC141249899495165练习2：50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？解：根据题意得出：50张彩票中任取n张，共有事件：没中奖的
15、事件是：则中奖的概率是：根据概率验证如下：当n=14时，当n=15时，所以n至少为15.nC50nC48nnnCCCP504850,0492599212nnP得0354925149914203549251599152练习3：在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列练习4：袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的两球中白球的个数，求X的分布列，并求至少有一个白球的概率解:.3512)1(37121312CCCCP,2,1,0)2(服从超几何分布可能取XX.3,2,7nMN其中,723510)0(373502CCCXP,74)1(372512CCCXP,71)2(371522CCCXP的数学期望为X的分布列为X76712741720)(XE练习5：一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球,3个黄球，2个蓝球，从中任取3个球.(1).求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率.(2).设X表示取到的蓝色小球的个数,求X的分布列和数学期望.
