1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2019北京文,19,14分)已知椭圆C: + =1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1). (1)求椭圆C的方程; (2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线 AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点.,解析 本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点,考查学生用方程思想、 数形结合思想、分类讨论解决综合问题的能力,体现了逻辑推理、直观想象和数学运算的核 心素养. (1)由题意得,b2=1,c=1. 所以a2=b2+c2=2
2、. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则直线AP的方程为y= x+1. 令y=0,得点M的横坐标xM=- . 又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|= . 同理,|ON|= .,由 得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0. 则x1+x2=- ,x1x2= . 所以|OM|ON|= = = =2 . 又|OM|ON|=2,所以2 =2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).,2.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上
3、一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E. 求证:BDE与BDN的面积之比为45.,解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为 + =1(ab0). 由题意得 解得c= . 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 直线AM的斜率kAM= ,故直线DE的斜率kDE=- . 所以直线DE的方程为y=- (x-m). 直线BN的方程为y= (x-2).,联立 解得点E的纵坐标yE=- . 由点M在椭圆C上,
4、得4-m2=4n2. 所以yE=- n. 又SBDE= |BD|yE|= |BD|n|, SBDN= |BD|n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45.,易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x= ty+n,则要考虑斜率为0的情况.,考点二 椭圆的几何性质,1.(2019北京理,4,5分)已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,则 ( ) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b,答案 B 本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算 能力;考查的核心素养是数学运算. 由题意知 =e2= ,
5、 整理得3a2=4b2,故选B.,易错警示 椭圆与双曲线中a、b、c关系的区别: (1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2.,2.(2018北京,14,5分)已知椭圆M: + =1(ab0),双曲线N: - =1.若双曲线N的两条渐近 线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 .,答案 -1;2,解析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质. 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭 圆M的两个焦点.,直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y= x, = .设
6、m=k,则n= k,则双曲线N的离心率e2= =2. 连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30. 设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|= c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即( +1)c=2a,椭 圆M的离心率e1= = = = -1. 解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为 ,代入椭圆M的方程,并结,合a,b,c的关系,联立得方程组 解得 = -1 .,方法总结 求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而求 出c与a的比值,即得离心率.,3.(2015北京文,20,14分)已知椭
7、圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A, B两点,直线AE与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C的离心率; (2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率; (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.,解析 (1)椭圆C的标准方程为 +y2=1. 所以a= ,b=1,c= . 所以椭圆C的离心率e= = . (2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴, 所以可设A(1,y1),B(1,-y1). 直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2). 令x=3,得M(3,2-y1). 所以直线BM的斜率kBM= =1. (3)解法一:直线BM与直线DE
8、平行.证明如下: 当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1. 又因为直线DE的斜率kDE= =1,所以BMDE. 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1= (x-2). 令x=3,得点M . 由 得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . 直线BM的斜率kBM= . 因为kBM-1= = = =0,所以kBM=1=kDE.所以BMDE. 综上可知,直线BM与直线DE平行. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2). 当x1=x2=1,由(2)知,kBM=1
9、. 又kDE= =1,所以BMDE. 当x11时,因为直线AB经过点D(1,0), 所以y2(x1-1)=y1(x2-1). 两边平方并把 = (i=1,2)代入, 得到(3- )(x1-1)2=(3- )(x2-1)2, 化简得x1x2-2(x1+x2)+3=0. 直线AE的方程为y-1= (x-2), 直线AE与x=3的交点M .,直线BM的斜率kBM= = = = . 由x11得y2= ,代入kBM的表达式,得到 kBM= = = =1. 所以,kBM=kDE=1. 综上,直线BM与直线DE平行.,4.(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率
10、; (2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.,解析 (1)由题意,知椭圆C的标准方程为 + =1. 所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c= . 故椭圆C的离心率e= = . (2)解法一:设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00. 因为OAOB,所以 =0,即tx0+2y0=0,解得t=- . 又 +2 =4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2 = +(y0-2)2 = + + +4 = + + +4,= + +4(0 4). 因为 + 4(0 4),且当 =4时等号成立, 所以|
11、AB|28. 故线段AB长度的最小值为2 . 解法二:由题意可知直线OB的斜率一定存在. 设直线OB的方程为y=kx, 则直线OA的方程为ky=-x, 将方程y=kx与椭圆C的方程联立, 得B (不失一般性,都取“+”号), 方程ky=-x与y=2联立,得A(-2k,2). |AB|2=|OA|2+|OB|2 =4+4k2+,=4+ +2+4k2 4+2 =8. 当且仅当k=0时,“=”成立, |AB|2 . 故线段AB长度的最小值为2 .,评析 本题考查椭圆的标准方程、几何性质、点与椭圆的关系以及弦长问题的求解.考查方 程思想、函数思想以及整体代换思想的应用,同时考查考生的运算求解能力.正确
12、选择参数是 解决本题的关键,再利用基本不等式求最值时应注意参数的取值范围.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2019课标全国理,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则p= ( ) A.2 B.3 C.4 D.8,答案 D 本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运 算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 , 由已知得椭圆 + =1的一个焦点为 , 3p-p= ,又p0,p=8.,思路分析 利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值.,2.(2019课标全国理,1
13、0,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点. 若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ( ) A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,答案 B 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能 力,考查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算,具有很好的创新性. 设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x, |BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,思路分析 由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值
14、,而b2=a2- 1,故可得椭圆的方程.,疑难突破 利用余弦定理灵活解三角形是突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键.,3.(2018课标全国,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2 F1=60,则C的离心率为 ( ) A.1- B.2- C. D. -1,答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为 + =1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|= c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即 c+c=2a, 所以椭圆的离心率e= = = -1.故
15、选D.,疑难突破 利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是 难点的突破口.,4.(2017浙江,2,5分)椭圆 + =1的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c= ,离心率e= = .故选B.,5.(2015广东,8,5分)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( ) A.2 B.3 C.4 D.9,答案 B 依题意有25-m2=16,m0,m=3.选B.,6.(2019课标全国理,15,5分)设F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且
16、在第一象 限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .,答案 (3, ),解析 本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2 |,又由椭圆方程 + =1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12, 所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x00,y00), 则 解得x0=3,y0= ,即M(3, ).,一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F
17、2= = ,则tanMF1F2= . 所以直线MF1的方程为y-0= (x+4). 设M(6cos ,2 sin ),因为M点在直线MF1上, 所以2 sin = (6cos +4), 结合sin2+cos2=1且sin 0,cos 0得cos = ,sin = , 即M点的坐标为(3, ).,7.(2016天津,19,14分)设椭圆 + =1(a )的右焦点为F,右顶点为A.已知 + = , 其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若 BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.
18、,解析 (1)设F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,椭圆的方程为 + =1. (2)设直线l的斜率为k(k0), 则直线l的方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),由方程组 消去y, 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x= ,由题意得xB= ,从而yB= . 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有 =(-1,yH), = . 由BFHF,得 =0,所以 + =0,解得yH= . 因此直线MH的方程为y=- x+ .,设M(xM,yM),由方程组 消去
19、y, 解得xM= . 在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+ = + ,化简得xM=1,即 =1,解 得k=- ,或k= . 所以,直线l的斜率为- 或 .,评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代数方法研究 圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.,8.(2016四川,20,13分)已知椭圆E: + =1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点,点P 在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM 与椭圆E交于
20、C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.,解析 (1)由已知,a=2b. 又椭圆 + =1(ab0)过点P , 故 + =1, 解得b2=1. 所以椭圆E的方程是 +y2=1. (2)设直线l的方程为y= x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程组 得x2+2mx+2m2-2=0, 方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得- m . 由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. 所以M点坐标为 ,直线OM方程为y=- x, 由方程组 得C ,D . 所以|MC|MD|= (-m+ ) ( +m)= (2-m2). 又|MA|MB|= |AB|2= (
21、x1-x2)2+(y1-y2)2= (x1+x2)2-4x1x2= 4m2-4(2m2-2)= (2-m2), 所以|MA|MB|=|MC|MD|.,评析 本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.,9.(2015天津,19,14分)已知椭圆 + =1(ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为 . (1)求直线BF的斜率; (2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于 点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|. (i)求的值; (ii)若|PM|sinBQP= ,求椭圆的方程.,解析 (1)设F(-c,0).由已知离
22、心率 = 及a2=b2+c2,可得a= c,b=2c. 又因为B(0,b),F(-c,0), 故直线BF的斜率k= = =2. (2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM). (i)由(1)可得椭圆的方程为 + =1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立, 消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=- . 因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=- x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得 xQ= . 又因为= ,及xM=0,可得= = = . (ii)由(i)有 = ,所以 = = , 即|PQ|= |PM|.,又因为|PM|
23、sinBQP= , 所以|BP|=|PQ|sinBQP= |PM|sinBQP= . 又因为yP=2xP+2c=- c, 所以|BP|= = c, 因此 c= ,得c=1. 所以,椭圆方程为 + =1.,评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问 题的能力.,10.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E: + =1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b) 的直线的距离为 c. (1)求椭圆E的离心率; (2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)
24、2= 的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.,解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d= = , 由d= c,得a=2b=2 , 解得离心率 = . (2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|= . 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- , x1x2= . 由x1+x2=-4,得- =-4,解得
25、k= . 从而x1x2=8-2b2.,于是|AB|= |x1-x2|= = . 由|AB|= ,得 = ,解得b2=3. 故椭圆E的方程为 + =1. 解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|= . 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 +4 =4b2, +4 =4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB与x轴不垂直,则x1x2, 所以AB的斜率kAB= = . 因此直线AB的方程为y= (x+2)+1, 代入得x2+4x+8-2b2=0. 所以
26、x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.,于是|AB|= |x1-x2|= = . 由|AB|= ,得 = ,解得b2=3. 故椭圆E的方程为 + =1.,评析 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基 础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运 算求解能力及方程思想的应用能力.,考点二 椭圆的几何性质,1.(2018课标全国,4,5分)已知椭圆C: + =1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, a2=b2+
27、c2=4+22=8,则a=2 , e= = = ,故选C.,方法总结 求椭圆离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e= 求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.,2.(2018课标,12,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P 在过A且斜率为 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y= (x+a), 直线PF2的方程为y= (x-c). 联立得
28、y= (a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH= (a+c).,解题关键 通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.,3.(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足 AMB=120,则m的取值范围是 ( ) A.(0,19,+) B.(0, 9,+) C.(0,14,+) D.(0, 4,+),答案 A 本题考查圆锥曲线的几何性质. 当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(- ,0),B( ,0),M(0, ). 图(1),易错警示 在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两 个端点
29、,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的 坐标轴.,4.(2017课标全国,10,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A 1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切, =a,即2b= ,a2=3b2,a2=b2+c2, = ,e= = .,5.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短 轴长的 ,则该椭圆的离心率为
30、( ) A. B. C. D.,答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc=a ,所以e= = .故 选B.,易错警示 椭圆中心到直线l的距离为 2b= ,容易将短轴长误认为b.,评析 本题考查椭圆的基本知识,利用三角形的面积建立等量关系是求解的关键.,6.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的 焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12,答案 B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2
31、.可设椭 圆E的方程为 + =1(ab0),因为离心率e= = ,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|= =2 =6.故选B.,评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.,7.(2015福建,11,5分)已知椭圆E: + =1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x- 4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值 范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不 妨令M
32、(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得 ,即b1.所以e2= = = ,又0e1,所以e ,故选A.,评析 本题考查了椭圆的定义及性质.考查数形结合的思想.解题关键在于发现A,B两点关于 原点对称,从而得出|AF|+|BF|=2a.,8.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 .,答案,解析 由已知条件易得B ,C , F(c,0), = , = , 由BFC=90,可得 =0, 所以 + =0, c2- a2+ b2=0, 即4c2-3a2+(a2-
33、c2)=0, 亦即3c2=2a2, 所以 = ,则e= = .,方法总结 圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系.,9.(2019课标全国文,20,12分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O 为坐标原点. (1)若POF2为等边三角形,求C的离心率; (2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.,解析 本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思想和逻辑思维能 力与运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. (1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F
34、1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|= c,于是2a=| PF1|+|PF2|=( +1)c,故C的离心率e= = -1. (2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当 |y|2c=16, =-1, + =1, 即c|y|=16, x2+y2=c2, + =1.,思路分析 第(1)问中由平面几何知识可知PF1F2是F1PF2=90的直角三角形,且|PF2|=c,|PF 1|= c,再利用椭圆的定义找出a与c的等量关系,进而求离心率. 第(2)问中设出P点坐标,利用 =16,PF1PF2以及 + =1得到方程,消元化简可求 b的值和a的取值范围.,一题多解 (2)
35、设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 由椭圆的定义可得r1+r2=2a, = r1r2=16,r1r2=32. 又PF1PF2, + =4c2, (r1+r2)2= + +2r1r2=4c2+64=4a2, 4a2-4c2=64,b=4, 又 + 2r1r2,4c2232,c4, a2=b2+c2=16+c232, b的值为4,a的取值范围为4 ,+).,10.(2017天津,20,14分)已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为 (0,c),EFA的面积为 . (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|= c,延长线段FQ与椭圆交于点P
36、,点M,N在x轴上,PMQN,且直线 PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.,解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研 究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力. (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= . 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为00),则直线FP的斜率为 . 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 + =1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x= ,y= ,
37、即点Q的坐标为 .由已知|FQ|= c,有 + = ,整理得3m2-4m=0,所以m= ,即直线FP的斜率为 . (ii)由a=2c,可得b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=- (舍去),或x=c.因此可得点P ,进而可得|FP|= = ,所以|PQ|=|FP| -|FQ|= - =c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线 FP. 因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN= = ,所以FQN的面积为 |FQ|
38、QN|= ,同理 FPM的面积等于 ,由四边形PQNM的面积为3c,得 - =3c,整理得c2=2c,又由c0,得 c=2. 所以,椭圆的方程为 + =1.,方法点拨 1.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k= (x1x2),其中两点坐标分别为(x1,y1), (x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k= (m0);(4)点差法. 2.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.,11.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0), 点B的坐标为(0,b),点M在线
39、段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 . (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.,解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 , 又kOM= ,从而 = . 进而a= b,c= =2b.故e= = . (2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为 ,可得 = . 又 =(-a,b),从而有 =- a2+ b2= (5b2-a2). 由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以 =0,故MNAB.,评析 本题考查椭圆的几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.,12.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆 + =1(ab0)的左、右
40、焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭 圆于P,Q两点,且PQPF1. (1)若|PF1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.,解析 (1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,得2c=|F1F2|= = =2 , 即c= ,从而b= =1. 故所求椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)解法一:连接F1Q,如图,设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,且PF1PF2, 所以 + =1, + =c2, 求得x0= ,y0= . 由|PF1|=|PQ|
41、PF2|得x00, 从而|PF1|2= +,C组 教师专用题组,考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆 E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为 .,答案 x2+ y2=1,解析 不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,00). 又|AF1|=3|F1B|,由 =3 得B ,代入x2+ =1得 + =1,又c2=1-b2,b2= . 故椭圆E的方程为x2+ y2=1.,评析 本题是用待定系数法求椭圆的标准方程,条件中线段长度|A
42、F1|=3|BF1|转化为 =3 是关键,利用向量的坐标运算,从而可以避免复杂的运算,向量法是数学中的重要方法.,2.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点 分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .,答案 12,解析 解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(- ,0),右焦点为F2( ,0).则M(m,n)关于F1的 对称点为A(-2 -m,-n),关于F2的对称点为B(2 -m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所 以|AN|+|BN|= + =2 + , 故由椭圆定义可知|AN|
43、+|BN|=26=12.,解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点,连接PF1、PF2. 显然PF1是MAN的中位线,PF2是MBN的中位线,|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2 6=12.,评析 本题主要考查椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算能力,也考查数形结合思想,难度 适宜.,3.(2013课标全国,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N 内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交
44、于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.,解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶 点除外),其方程为 + =1(x-2).,(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0) 时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2
45、)2+y2=4. 若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=2 . 若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0), 所以可设l:y=k(x+4). 由l与圆M相切得 =1,解得k= .,当k= 时,将y= x+ 代入 + =1,并整理得7x2+8x-8=0, 解得x1,2= . 所以|AB|= |x2-x1|= . 当k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= . 综上,|AB|=2 或|AB|= .,评析 本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位 置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推
46、理论证能力,考查了数形结合思想和 分类讨论思想.,考点二 椭圆的几何性质,1.(2015浙江,15,4分)椭圆 + =1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y= x的对称点Q在椭圆上, 则椭圆的离心率是 .,答案,解析 令Q的坐标为(x0,y0),FQ的中点为M ,由点M在直线y= x上得bx0-cy0+bc=0.又 因为直线FQ垂直于直线y= x,所以 =- ,即cx0+by0-c2=0,联立得点Q ,把点Q的坐标代入 + =1并化简得a6=4c6+a4c2,两边同除以a6得4e6+e2-1=0,令 t=e2,则0t1,则4t3-t+2t-1=0,则t(2t+1)+1(2t-1)=0,解得
47、t= ,因为0e1,所以e= .,2.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆C: + =1(ab0)相交于A,B两点, 若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .,答案,解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1. 、两式相减并整理得 =- . 结合已知条件得,- =- , = ,故椭圆的离心率e= = .,评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求 解的关键.本题也可以利用根与系数的关系求解.,3.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆 +y2=1(a1). (1)求直线y=kx+1被椭圆
48、截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.,解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由 得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, 故x1=0,x2=- . 因此|AP|= |x1-x2|= . (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP |=|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|= ,|AQ|= , 故 = , 所以( - )1+ + +a2(2-a2) =0. 由于k1k2,k1,k20得1+ + +a2(2-a2) =0,因此 =1+a2(a2-2), 因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a .因此,任意以点A(0,1)为圆 心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a , 由e= = 得,所求离心率的取值范围为0e .,评析 本题
