1、(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,xR. (1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值; (2)求函数y= + 的值域.,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学 素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.满分14分. (1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+), 即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin , 故2sin xcos =0, 所以cos =0. 又0,2),因此= 或 .
2、 (2)y= + =sin2 +sin2 = + =1-,=1- cos . 因此,函数的值域是 .,思路分析 (1)根据偶函数的定义,知f(-x+)=f(x+)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos =0,从 而求出的值. (2)将函数解析式化简为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,利用三角函数的性质求值 域.,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2017课标全国文,6,5分)函数f(x)= sin +cos 的最大值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 A f(x)= sin +cos = + cos x+ sin x = sin x+ cos x = 2s
3、in = sin , f(x)的最大值为 . 故选A.,一题多解 cos =cos =sin =sin , f(x)= sin ,f(x)max= .故选A.,2.(2016课标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+) ,x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f (x)图象的对称轴,且f(x)在 单调,则的最大值为 ( ) A.11 B.9 C.7 D.5,答案 B 依题意,有 (m、nZ), 又| ,m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,=4n+1,= ,由f(x)在 上单调,得 - , 12,取n=2,得=9, f(x)=sin 符合题意.当m+n=-1时,=- ,=4n+3
4、,取n=2,得=11, f (x)=sin ,此时,当x 时,11x- , f(x)不单调,不符合题意.故选B.,3.(2017课标全国文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .,答案,解析 f(x)= sin(x+)= sin(x+) (其中tan =2).,方法总结 把原函数化为y=Asin(x+)+B的形式,再借助三角函数的有界性求解.,4.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+ cos x- 的最大值是 .,答案 1,解析 本题主要考查三角函数的最值. 由题意可得f(x)=-cos2x+ cos x+ =- +1. x ,cos x0,1
5、. 当cos x= 时, f(x)max=1.,5.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+ sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间 上的最大值为 ,求m的最小值.,解析 (1)f(x)= - cos 2x+ sin 2x =sin + . 所以f(x)的最小正周期为T= =. (2)由(1)知f(x)=sin + . 由题意知- xm. 所以- 2x- 2m- . 因为f(x)在 上的最大值为 , 即sin 在 上的最大值为1. 所以2m- ,即m .所以m的最小值为 .,6.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin
6、2x-sin2 ,xR. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)由已知,得 f(x)= - = - cos 2x= sin 2x- cos 2x= sin . 所以, f(x)的最小正周期T= =. (2)因为f(x)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数, f =- , f =- , f = .所以, f(x)在区间 上的最大值为 ,最小值为- .,C组 教师专用题组,1.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)= cos -2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求证:当x 时, f(x)- .,解析 本题
7、考查三角恒等变换,三角函数的性质. (1)f(x)= cos 2x+ sin 2x-sin 2x = sin 2x+ cos 2x =sin . 所以f(x)的最小正周期T= =. (2)证明:因为- x , 所以- 2x+ . 所以sin sin =- . 所以当x 时, f(x)- .,易错警示 正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)- 时容易忽视x的取值范围.,2.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin +sin ,其中03.已知f =0. (1)求; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左 平移
8、 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在 上的最小值.,解析 本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质及最值. (1)因为f(x)=sin +sin , 所以f(x)= sin x- cos x-cos x = sin x- cos x= = sin . 由题设知f =0,所以 - =k,kZ. 故=6k+2,kZ,又03,所以=2. (2)由(1)得f(x)= sin , 所以g(x)= sin = sin . 因为x ,所以x- ,当x- =- ,即x=- 时,g(x)取得最小值- .,方法技巧 y=Asin(x+)(A0,0)的图象变换: 由y=sin x的图象变换得到y=A
9、sin(x+)(A0,0)的图象有两种方法. 方法一:(先平移后伸缩)y=sin x的图象 y=sin(x+)的图象 y= sin(x+)的图象 y=Asin(x+)的图象. 方法二:(先伸缩后平移)y=sin x的图象 y=sin x的图象 y=sin (x+)的图象 y=Asin(x+)的图象.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018浙江镇海中学阶段测试,4)有4个关于x的函数:y1=sin x+cos x,y2=sin x-cos x,y3=sin xcos x, y4= .这4个函数中,在 上单调递增的函数的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
10、,答案 C y1= sin ,y2= sin ,y3= sin 2x,y4=tan x,其中在 上单调递增的函 数是y2,y4,故选C.,2.(2019浙江高考信息优化卷(二),6)设(0,)时不等式sin 2 成立,则k的取值范围是 ( ) A.1,+) B. C. D.,答案 C 易知ksin 2tan =2cos (1-cos ), 而2cos (1-cos ) ,所以k ,故选C.,3.(2019浙江高考数学仿真卷,5)已知f(x)= ,则对任意xR,下列说法错误的是 ( ) A.f(x) sin x B.|f(x)|x| C.|f(x)| D.f(+x)+f(-x)=0,答案 A |
11、f(x)|= |sin x|x|,所以选项B正确; 由y= 得sin x-ycos x=ye, 利用辅助角公式得 sin(x+)=ye, 所以|y|e 从而y ,即|f(x)| ,所以选项C正确; 利用诱导公式可知选项D正确. 综上,故选A.,4.(2019浙江高考信息卷(二),14)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,xR,则f(x)在区间 上的 最大值是 ,最小值是 .,答案 ;-,解析 f(x)=sin2x-sin2 = (1-cos 2x)- = = sin 2x- ,当x 时,2x- ,所以f(x) .,5.(2019浙江名校新高考研究联盟第一次联考,18)已知函数f(x)=
12、sin 2x+2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)求f(x)在区间 上的最大值.,解析 (1)f(x)= sin 2x+2sin2x= sin 2x+1-cos 2x=2sin +1, 故T= =. 令2k- 2x- 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ, 所以f(x)的单调递增区间为 ,kZ. (2)当x 时,2x- , 所以sin , 所以f(x)在区间 上的最大值为3.,6.(2019浙江高考信息优化卷(五),18)在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2, C= . (1)若ABC的面积为 ,求a,b的值; (2)若ABC是锐角三角
13、形,求a+b的取值范围.,解析 (1)由SABC= absin C= ,得ab=4. 又由c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-4=4,得a2+b2=8,联立解得a=b=2. (2)因为2R= = ,所以a+b= (sin A+sin B)= = =4sin . 因为ABC是锐角三角形,所以A ,从而A+ , 所以sin ,所以a+b(2 ,4,即a+b的取值范围是(2 ,4.,7.(2019浙江学军中学高三上期中,18)已知函数f(x)=2 sin2 +2cos2x- . (1)当x0,且f(x)=2时,求x的值; (2)设向量a=(f(x)-1,m),b=(k,1)(k0),若对
14、任意的x ,不等式ab0恒成立,求实数m的 取值范围(用实数k表示).,解析 (1)因为f(x)=2 +1+cos 2x- = sin 2x+cos 2x+1=2sin +1, 所以由f(x)=2得sin = . 因为x0,所以2x+ , 所以2x+ = , , ,所以x=0, ,.,(2)易知ab=kf(x)-k+m0,所以mk1-f(x),故原命题可转化为当k0时,不等式mk1-f(x)在x 上恒成立. 因为f(x)在x 上的最大值为3,最小值为0, 所以1-f(x)在x 上的最大值为1,最小值为-2. 所以当k0时,m-2k;当k0时,mk.,8.(2019浙江高考信息优化卷(四),18
15、)已知函数f(x)=4sin3xcos x-2sin xcos x- acos 4x,且满足f(0)= . (1)求a的值; (2)求f(x)的最小正周期; (3)若f(x)=m在 上有两个不等实根,求m的取值范围.,解析 (1)易知f(0)=- a= ,所以a=-1. (2)由(1)知f(x)=4sin3xcos x-2sin xcos x+ cos 4x=2sin xcos x(2sin 2x-1)+ cos 4x=sin 2x(-cos 2x)+ cos 4x=- sin 4x+ cos 4x=- sin , 所以f(x)的最小正周期为 . (3)f(x)=m在 上有两个不等实根可转化为
16、y=f(x)的图象与y=m的图象有两个不同的交点.在 平面直角坐标系中,作出y=f(x)的图象,如图. 由图可得两图象有两个不同交点时,- m- .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:65分 一、选择题(每小题4分,共12分),1. (2019浙江镇海中学模拟(一),7)设a0,若函数f(x)=sin x+sin(x+a)-1没有零点,则实数a的 取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 令g(x)=sin x+sin(x+a),则将问题转化为函数g(x)=sin x+sin(x+a)的图象与函数y=1的 图象没有交点,求a的取值范围的问题. 而g
17、(x)=sin x+sin(x+a)=(1+cos a)sin x+sin acos x= sin(x+),其中cos = ,sin = .当xR时,函数g(x)的值域为 - , ,故有 1,即得cos a- ,又a0,所以 a.,2.(2019浙江台州高三上期末,9)已知函数y=sin x+acos x,且在x 上的最小值为a,则实数a 的取值范围是 ( ) A.0, B.- , C.(-, D.,答案 C 显然,当x=0时,函数取到最小值a, 故sin x+acos xa在 上恒成立, 分离参数得a ,即求 的最小值,易知 在 上的最小值为 ,从而a ,故选C.,3.(2019浙江杭州高三
18、上期末,10)设函数f(x)=sin(2x+)+cos 2x,记f(x)的最大值为M(),最小值为 m(),则 ( ) A. 存在R,使得M()+m()= B. 存在R,使得M()-m()= C. 存在R,使得M()m()= D. 存在R,使得 =,答案 D f(x)=sin(2x+)+cos 2x=cos sin 2x+cos 2x + = sin(2x+)+ , 所以M()= + 1,2,m()=- + -1,0. 因而M()+m()=1,排除A; M()-m()=2 1,3,排除B; |M()m()|=|1+sin |0,2,排除C. 故选D.,4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考
19、,15)已知函数f(x)=sin(x+) 的图象过点 .若f(x)f 对xR恒成立,则的值为 ;当最小时,函数g(x)=f - 在区间0,22上的零点个数为 .,二、填空题(共10分),答案 =1+12k,kZ;8,解析 由题意得= ,且当x= 时,函数f(x)取到最大值,故 + = +2k,kZ,解得=1+12k,k Z,又0,所以的最小值为1.因此,g(x)=f - =sin x- ,又7228,故g(x)在区间0, 22上的零点个数是8.,5.(2017浙江金华十校调研,17)若函数f(x)=|asin x+bcos x-1|+|bsin x-acos x|(a,bR)的最大值为1 1,
20、则a2+b2= .,答案 50,解析 f(x)=|asin x+bcos x-1|+|bsin x-acos x|asin x+bcos x|+|bsin x-acos x|+1 2 +1= +1.令 +1=11, 所以a2+b2=50.,6.(2019浙江宁波高三上期末,18)如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的扇形,O是坐标原 点,OP落在x轴非负半轴上,点Q在第一象限内,C是扇形弧上的一点,ABCD是扇形的内接矩形. (1)当点C是扇形弧上的四等分点(靠近Q)时,求点C的纵坐标; (2)当点C在扇形弧上运动时,求矩形ABCD面积的最大值.,三、解答题(共43分),解析 (1)根据
21、题意知POC= ,故yC=1sin = . (2)设COP=, ,矩形ABCD的面积为S, 则S=ABBC=(OB-OA)BC= sin =sin cos - sin 2= sin 2+ cos 2- = sin - , ,2+ , Smax= .(当且仅当= 时S取得最大值),7.(2018浙江杭州第一学期教学质检,18)设向量a=(2 sin x,-cos x),b=(cos x,2cos x), f(x)=ab+1. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若方程 f(x)=|t2-t|(tR)无实数解,求t的取值范围.,解析 (1)f(x)=ab+1=2 sin xcos x-2co
22、s2x+1 = sin 2x-cos 2x=2sin , (6分) 故f(x)的最小正周期为. (7分) (2)若方程 f(x)=|t2-t|(tR)无实数解,则|t2-t|f(x)max=2,(9分) t2-t2或t2-t2得t2或t2或t-1. (14分),8.(2019浙江镇海中学模拟(一),18)已知函数f(x)=2sin(+x)sin +2 cos2x. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)在锐角ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若f(A)=0,b=4,c=3,点D为BC上一点,且对任意 实数t恒有| +t | |成立,求AD的长.,解析 (1)f(x)=-2sin xcos x+2 cos 2x= cos 2x-sin 2x+ (2分) =-2sin + . (4分) 由 +2k2x- +2k,kZ,得 +kx +k,kZ, 所以f(x)的单调递增区间为 ,kZ. (7分) (2)因为f(A)=0,所以sin = ,又A ,所以A= , (9分) 又b=4,c=3,所以由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A=25-24cos =13,所以a= , (11分) 由| +t | |对任意实数t恒成立,得ADBC. (13分) 又SABC= bcsin A= 43sin =3 ,所以AD= = . (15分),
