1、统一命题、省(区、市)卷题组 考点 曲线与方程,五年高考,1.(2019北京理,8,5分)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中 之一(如图).给出下列三个结论: 曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ; 曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题考查内容比较丰富,涉及不等式、圆、距离、面积等知识,对学生的推理能 力、综合应用能力、运算求解能力要求较高;重点体现逻辑推理、数学运算等核心素养;同时 也展现了对创新思维与审美能力的考
2、查. 解法一:从结论“不超过”“小于”入手,利用基本不等式进行放缩,再利用图形估算面积. x2+y2=1+|x|y1+|x|y|1+ , x2+y22. x可能取得的整数值为1,0,代入曲线C的方程得整点坐标为(1,1),(1,0),(-1,1),(-1,0),(0,1),(0,- 1),故正确; 设曲线C上任意一点到原点的距离为d,则d2=x2+y22, d ,故正确; 由图知,图形在第一象限的面积S11,图形在第四象限的面积S4 ,由对称性得,“心形”区 域面积S 2=3,故错误.综上可知选C.,解法二:由图形封闭,结论中涉及曲线上的点到原点的距离,联想到极坐标方程. 以原点为极点建立极坐
3、标系, 则C:2=1+2|cos |sin , 即2= . |cos |sin |sin 2| , 22,即 ,故正确. 由 ,知 经检验知共有6个整点满足条件,故正确. 在第一象限曲线C的极坐标方程为 =1+ cos 1sin 1, 在第四象限曲线C的极坐标方程为 =1+ cos 4sin 4.,令4=-1,则 =1- cos 1sin 1, 由得1-1= = , 由得1-4= = , 14,1-11-4(此时极径关于极轴对称). 如图所示, 由图可知,右半部分“心形”区域面积大于半个单位圆面积,故“心形”区域面积S2 12 =3,故错误.,综上可知,正确结论的序号为,故选C.,2.(201
4、9课标全国理,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积 为- .记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程,并说明C是什么曲线; (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于 点G. (i)证明:PQG是直角三角形; (ii)求PQG面积的最大值.,解析 本题主要考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系,两条直线的位置关系,弦长问 题,三角形的面积以及基本不等式的应用等相关知识;通过对三角形形状的判断以及面积最值 的求解考查学生的知识迁移能力、运算求解能力及函数思想方法的应用;体现了逻辑推理和
5、 数学运算的核心素养. (1)由题设得 =- ,化简得 + =1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的 椭圆,不含左右顶点. (2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0). 由 得x= . 记u= ,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直线QG的斜率为 ,方程为y= (x-u). 由 得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.,设G(xG,yG),则-u和xG是方程的解,故xG= ,由此得yG= . 从而直线PG的斜率为 =- . 所以PQPG,即PQG是直角三角形. (ii)由(i)得|PQ|=2u ,|PG|= , 所以PQG的面
6、积S= |PQ|PG|= = . 设t=k+ ,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号. 因为S= 在2,+)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为 . 因此,PQG面积的最大值为 .,思路分析 (1)利用直线AM与BM的斜率之积为- 求得曲线C的轨迹方程,从而得出曲线C的轨 迹.(2)(i)设出直线PQ的方程,联立椭圆方程,求得点P、Q的坐标,由Q、E的坐标得出直线QG的 方程,联立椭圆方程,得出点G的坐标,进而表示出直线PG的斜率,从而得出结论.(ii)利用弦长公 式求出|PQ|与|PG|的表达式,从而将三角形的面积表示成关于k的函数,进而利用函数思想求其 最大值.,解
7、题关键 利用方程思想得出点P、Q的坐标,进而利用换元法及整体代换法简化运算过程 是顺利解决本题的关键;正确利用基本不等式及函数单调性是求解PQG面积最值的关键.,3.(2017课标全国理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过M作x轴的垂线, 垂足为N,点P满足 = . (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且 =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题. (1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 得x0=x,y0= y. 因
8、为M(x0,y0)在C上,所以 + =1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, = (m,n), =(-3-m,t-n). 由 =1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以 =0,即 .,又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,思路分析 (1)设出P、M的坐标,利用 = 得到P、M坐标间的关系式,由点M在C上求 解.(2)利用向量的坐标运算得 =0,进而证得直线l过曲线C
9、的左焦点F.,方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间 接法有相关点法、交轨法和参数法.,4.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ; (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.,解析 由题设知F .设l1:y=a,l2:y=b,则ab0, 且A ,B ,P ,Q ,R . 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. (3分) (1)证明:由于
10、F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1= = = = =-b=k2. 所以ARFQ. (5分),(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF= |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF= . 由题设可得2 |b-a| = , 所以x1=0(舍去),或x1=1. (8分) 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE,可得 = (x1). 而 =y,所以y2=x-1(x1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1. (12分),疑难突破 第(1)问求解关键是把ARFQ的证明转化为kAR
11、=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点 所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨 论思想的应用.,评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类 讨论思想的应用,考查学生对基础知识和基本技能的应用能力.,考点 曲线与方程,教师专用题组,1.(2016课标全国,20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于 C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,
12、过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四 边形MPNQ面积的取值范围.,解析 (1)因为|AD|=|AC|,EBAC, 故EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. (2分) 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为 + =1(y0). (4分) (2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0), M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12
13、=0. 则x1+x2= ,x1x2= . 所以|MN|= |x1-x2|= . (6分) 过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为y=- (x-1),A到m的距离为 ,所以|PQ|=2,=4 . 故四边形MPNQ的面积S= |MN|PQ|=12 . (10分) 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8 ). 当l与x轴垂直时,l的方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 ). (12分),方法总结 定义法求轨迹方程的一般步骤: (1)判定动点的运动轨迹满足某种曲线的定义; (2)设标准方程,求
14、方程中的基本量; (3)写出轨迹方程.,2.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不 存在,说明理由.,解析 (1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0), 则x0= ,y0= . 由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y
15、=tx. 将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0. 由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2= , 所以x0= ,代入直线l的方程,得y0= . 因为 + = + = = =3x0,所以 + = . 由(*)解得t2 ,又t20,所以 x03. 所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为 +y2= .,(3)存在.由(2)知,曲线C是在区间 上的一段圆弧. 如图,D ,E ,F(3,0),直线L过定点G(4,0). 联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0. 令判别式=0,解得k= ,由求根公式解得交点的横
16、坐标为xH,I= ,由图可知:要使直线L 与曲线C只有一个交点,则kkDG,kEGkGH,kGI,即k .,考点 曲线与方程,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018浙江杭州二中期中,9)2 000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apllonius)发现:平面 截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH,AB为底面直径,顶角为2,那么不过顶点P 的平面:与PH的夹角满足 时,截口曲线为椭圆;与PH的夹角=时,截口曲线为抛物线; 与PH的夹角满足0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AMAB,过AM的平面截圆 锥所得的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可
17、知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口 曲线的短轴顶点的轨迹为 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,答案 D 因为短轴两端点到A,C的距离相等,当C运动时,短轴两端点在过AC中点且与PB平 行的平面内,此时截口曲面的短轴顶点的轨迹所在的平面与PH的夹角=,因而轨迹为抛物线, 故选D.,2.(2019浙江高考数学仿真卷,8)动直线y=kx+4-2k与函数y= 的图象交于A,B两点,点P(x,y) 是平面上的动点,满足| + |=4,则x2+y2+2x的最大值是 ( ) A.40 B.44 C.46 D.48,答案 D 由题意得直线过定点Q(2,4),y=4+ . | + |
18、=4|PQ|=2,P是以(2,4)为圆心,以2为半径的圆上的一动点, x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1为动点P(x,y)到(-1,0)的距离的平方减1. 点Q(2,4)到(1,0)的距离d=5, (x2+y2+2x)max=(d+2)2-1=49-1=48. 故选D.,3.(2019浙江高考冲刺卷(四),6)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距 离,那么平面内到定圆C的距离等于到定点A的距离的点的轨迹不可能是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线,答案 D 设动点为Q,圆C的半径为R,当点A在圆内且不与圆心C重合时,|QC|+|QA|=R,轨迹是 椭
19、圆;当点A在圆外时,|QC|-|QA|=R,轨迹是双曲线的一支;当点A与圆心C重合时,轨迹是圆;当点 A在圆C上时,轨迹是射线.综上,只有直线是不可能的,故选D.,4.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(二),21)过椭圆C外一点P(x0,y0)作椭圆C: + =1的切线l1, l2,切点分别为A,B,满足l1l2. (1)求点P的轨迹方程; (2)求ABP的面积(用P的横坐标x0表示); (3)当点P运动时,求ABP面积的取值范围.,解析 (1)设直线PA: y=k(x-x0)+y0,代入4x2+5y2=20得 (4+5k2)x2+10(y0-kx0)kx+5(y0-kx0)2-20=0.
20、由=0得( -5)k2-2x0y0k+ -4=0, 又由k1k2= =-1,得 + =9,所以点P的轨迹方程为x2+y2=9. (6分) (2)由题意知直线AB: + =1,将其代入椭圆方程4x2+5y2=20 得(45- )x2-40x0x+25 -125=0, 由根与系数的关系得x1+x2= ,x1x2= . |AB|= |x1-x2|= = , d= = , 所以SABP= |AB|d= . (11分) (3)由(2)易知ABP面积的取值范围是 . (15分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:15分钟 分值:27分 一、选择题(每小题4分,共8分),1.(2017浙江
21、温州十校期末联考,6)点P为直线y= x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确 的是 ( ) A.|PF1|-|PF2|8 B.|PF1|-|PF2|=8 C.|PF1|-|PF2|8 D.以上都有可能,答案 C 若|PF1|-|PF2|=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为 - = 1.因为直线y= x是该双曲线的一条渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有|PF1|-|PF2|8.,2.(2019浙江金华十校联考(4月),8)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,点C满足sinCAB=sin CBA(0),且在平面内运动,则 ( )
22、A.当=1时,点C的轨迹是抛物线 B.当=1时,点C的轨迹是一条直线 C.当=2时,点C的轨迹是椭圆 D.当=2时,点C的轨迹是双曲线,答案 B 在ABC中,由sinCAB=sinCBA,得 =. 当=1时,可知点C在线段AB的中垂面上运动,又点C在平面内,所以C在两个平面的交线上,即 点C的轨迹为一条直线; 当=2时,可知点C的轨迹为一个球面(相对应于平面中阿波罗尼斯圆),又点C在平面内,所以 点C在两个已知平面和球面的截口曲线上,即点C的轨迹为一个圆. 故选B.,3.(2019浙江高考仿真卷(一),16)在四面体A-BCD中,已知|DA|=|DB|=|DC|=1,且DA,DB,DC两两 互
23、相垂直,在该四面体的表面上与点A的距离为 的点形成一条曲线,则这条曲线的长度是 .,二、填空题(共4分),答案 ,解析 在面DAB,面DAC,面ABC上,与点A的距离为 的点形成的曲线是半径为 的圆弧, 设曲线与棱AB,AC,CD,DB的交点为依次为E,F,G,H,则由AG= 得DG= = ,从而 GAD= ,故圆弧GF的圆心角为 ,同理圆弧EH的圆心角也为 .因为ABC为正三角形,所 以圆弧EF的圆心角为 ,在面DBC上的动点与点A的距离为 ,则与点D的距离为 ,故动点 在面DBC上形成的曲线是以D为圆心,半径为 ,圆心角为 的圆弧. 综上,这条曲线的长度是 + = .,4.(2019浙江高
24、考“超级全能生”联考(2月),21)已知点F ,点M在y轴上,点N在x轴上,且 = ,NMMF,当点M在y轴上运动时,点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过曲线C上一点E,作圆Q:(x-5)2+y2=1的切线,交曲线C于A,B两点,若直线EQ垂直于直线AB,求 EFQ的面积.,三、解答题(共15分),解析 本题考查轨迹方程、直线与抛物线的位置关系. (1)设点P(x,y),则M ,N(-x,0), 所以 = , = , 因为MNMF,所以- + =0,即y2=x(x0), 所以曲线C的方程为y2=x(x0). (2)由题意知直线EQ的斜率不为0.当直线EQ的斜率不存在时,由抛物线的特征易知EQ不垂直 于AB,故不合题意. 当直线EQ的斜率存在时,记E( ,y0),A( ,y1),B( ,y2),则kEA= = , 所以直线EA的方程为y-y1= (x- ),即(y1+y0)y-x-y1y0=0. 又Q(5,0), 由直线EA和圆Q相切,得 =1(1- ) -8y0y1+ -24=0. 同理可得(1- ) -8y0y2+ -24=0,所以y1,y2是方程(1- )y2-8y0y+ -24=0的两个实根,故y1+y2= , 所以kAB= = = , 又kEQ= ,由EQAB得kABkEQ=-1,即 = , 所以SEFQ= = .,
