1、(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界 曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千 米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面 直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y= (其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
2、 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.,五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y= ,得 解得 (2)由(1)知,y= (5x20),则点P的坐标为 , 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=- , 则l的方程为y- =- (x-t),由此得A ,B . 故f(t)= = ,t5,20.,设g(t)=t2+ ,则g(t)=2t- .令g(t)=0,解得t=10 . 当t(5,10 )时,g(t)0,g(t)是增函数; 从而,当t=10 时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)mi
3、n=300,此时f(t)min=15 . 答:当t=10 时,公路l的长度最短,最短长度为15 千米.,思路分析 (1)将已知点代入函数关系式可得结果. (2)先设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B两点,求出l的方程,进而得A,B的坐标,可求得结 果.构造函数,利用函数的单调性求解.,名师点睛 解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学 模型,然后将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应 的数学模型.本题已直接给出模型,只需确定其待定参数即可.求解数学模型,得出数学结论,这 一步骤在应用题中要求不高,难度中等偏下.,B组
4、统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 函数的实际应用,1.(2019课标全国理改编,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月 球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技 术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为 M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满 足方程: + =(R+r) . 设= .由于的值很小,因此在近似计算中 33,则r的近似值
5、为 .,答案 R,解析 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数学建 模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以及正 确的国家观. 将r=R代入方程可得 + =(1+) , 即 + =(1+)M1, = ,即 = , 33, ,r=R R.,解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问 题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.,2.(2019北京理,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白 梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒
6、.为增加销量,李明对这四种 水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功 后,李明会得到支付款的80%. 当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值 为 .,答案 130 15,解析 本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数 学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生 活与学习的密切联系. x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元
7、. 设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况. 根据题意得(m-x)80%m70%, 所以x ,而m120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x ,而 =15,x 15. 所以x的最大值为15.,解题关键 正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键.,3.(2016四川改编,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年 投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投 入的研发资金开始超过200万元的年份是 年. (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,
8、lg 20.30),答案 2019,解析 设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n-1200, 则lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30, 解得n ,又nN*,n5, 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.,4.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718为自然对数的底数,k,b为
9、常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保 鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是 小时.,答案 24,解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 所以e22k= = = ,所以e11k= 或- (舍去),于是该食品在33 的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).,评析 本题考查了函数的应用,考查转化与化归的数学思想.,考点二 函数的综合应用,1.(2019课标全国理改编,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时, f (x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)-
10、 ,则m的取值范围是 .,答案,解析 本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数间的 递推关系为背景考查逻辑推理及数据分析的核心素养. 由题意可知,当x(0,1时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x= 时, f(x)min=- ,且当x= 时, f(x)=- .当x(1, 2时,x-1(0,1,则f(x)=2f(x-1).当x(-1,0时,x+1(0,1,则 f(x)= f(x+1). 若x(1,2,则当x= 时, f(x)min=- ,且x= 时, f(x)=- . 同理,若x(2,3,则当x= 时, f(x)min=-1,且x= 时, f(x)=- .
11、函数f(x)的大致图象如图所示.,f(x)- 对任意x(-,m恒成立,当x(-,m时, f(x)min- ,由图可知m .,思路分析 由x(-,m时,f(x)- 恒成立,可知f(x)min- .由递推关系可作出y=f(x)的大致图 象.由图可得m的范围.,疑难突破 由x(0,1, f(x)=x(x-1),结合递推关系f(x+1)=2f(x)得出xR时,y=f(x)的图象是本题 的难点.,2.(2017天津改编,8,5分)已知函数f(x)= 设aR,若关于x的不等式f(x) 在R 上恒成立,则a的取值范围是 .,答案,解析 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于-x2+x-3 +a
12、x2-x+3在R 上恒成立,即有-x2+ x-3ax2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x= , 可得在x= 处取得最大值- ;由y=x2- x+3图象的对称轴为x= ,可得在x= 处取得最小 值 ,则- a . 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于- +ax+ 在R上恒成立, 即有- a + 在R上恒成立,由于x1,所以- -2 =-2 ,当且仅当x= 时取得最大值-2 ;因为x1,所以 x+ 2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 a2. 由可得- a2.,思路分析 讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数法,可得-x2+ x-3ax
13、2- x+ 3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得- a + ,再 利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,3.(2017浙江,17,4分)已知aR,函数f(x)= +a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围 是 .,答案,解析 本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想. 设g(x)=x+ -a,x1,4, g(x)=1- = ,易知g(x)在1,2上为减函数,在2,4上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a. (1)当a4时,|g(x)|max=5-a,f(x)max=|g(x)|ma
14、x+a=5. a4符合题意. (2)当45时,|g(x)|max=a-4, f(x)max=a-4+a=5a= (舍去).,综上,实数a的取值范围为 .,4.(2017山东理,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递 增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 . f(x)=2-x f(x)=3-x f(x)=x3 f(x)=x2+2,答案 ,解析 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=ex2-x= ,函数y= 在(-,+)上单调递 增,符合题意. 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x
15、)=ex3-x= ,函数y= 在(-,+)上单调递减, 不符合题意. 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=exx3,令y=exx3,则y=(exx3)=exx2(x+3),当x(-,-3)时,y0, 函数y=ex(x2+2)在(-,+)上单调递增,符合题意. 符合题意的为.,思路分析 审清题意,逐项代入检验即可.,方法总结 判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法. (3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性. (4)导数法.具体步骤:确定函数的定义域;当f (x)0时, f(x)为增函数,当f (x)0时, f(x)为减函 数,注意写单调区间时不能用“”连接
16、.,5.(2016浙江,18,15分)已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q= (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围; (2)(i)求F(x)的最小值m(a); (ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).,解析 (1)由于a3,故 当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0, 当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a). 所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,
17、g(x)=x2-2ax+4a-2,则 f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即 m(a)= (ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2), 当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6). 所以,M(a)=,C组 教师专用题组,考点一 函数的实际应用,1.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点 A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为
18、了准确瞄准目标点P,需计算 由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan 的最大值是 . (仰角为直线AP与平面ABC所成角),答案,解析 过点P作PNBC于N,连接AN,则PAN=,如图.设PN=x m,由BCM=30,得CN= x m. 在直角ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20 m,故BN=(20- x)m.从而AN2=152+(20- x)2=3x2 -40 x+625,故tan2= = = = . 当 = 时,tan2取最大值 ,即当x= 时,tan 取最大值 .,2.(2014湖南改编,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加
19、,第一年的增长率为p,第二年的增长 率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 .,答案 -1,解析 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两 年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),得x= -1.,考点二 函数的综合应用,1.(2014辽宁改编,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足: f(0)=f(1)=0; 对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)| |x-y|. 若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为 .,答案,解析 当x=y时,|f(x)-f(y)|=0
20、. 当xy时,当|x-y| 时,依题意有|f(x)-f(y)| 时,不妨设x , |f(x)-f(y)| - = . 综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)| . 因此,k ,即k的最小值为 .,2.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(xR),对函数y=g(x)(xI),定义g(x)关于f(x)的“对称函 数”为函数y=h(x)(xI),y=h(x)满足:对任意xI,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x, f(x)对称.若h (x)是g(x)= 关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)g(x)恒成立,则实数b的取值范围是 .,答案 (2 ,+),
21、解析 函数g(x)= 的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由 题意可知,对任意x0I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0)是点(x0,h(x0)和点(x0,g(x0)连线的中点, 又h(x)g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)= 相离且b0. 即 解之得b2 . 所以实数b的取值范围为(2 ,+).,3.(2013课标全国理改编,11,5分)已知函数f(x)= 若|f(x)|ax,则a的取值范围是 .,答案 -2,0,解析 由题意作出y=|f(x)|= 的图象: 由题意结合图象知,当a0时,由y=ln(x+1)的增长性知
22、x0(0,+),使ax0ln(x0+1),所以a0.当 x0时,|f(x)|ax显然成立;当x0时,|f(x)|=x2-2xax,则ax-2恒成立,又x-2-2,a-2.综上,-2 a0.,评析 本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力,借助基本初等函数的图象缩小参 数范围是解题关键.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 函数的实际应用制,1.(2019南京、盐城期末,17)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是 金山银山”的号召,对环境进行了大力整治.目前盐城市的空气质量位列全国前十,吸引了大量 的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来
23、到了盐城市黄海国家森林公园.数据显示,近 期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)=mln x-x+ -6(4x22,mR),其中x为每 天的时刻.若在早晨6点,测得空气质量指数为29.6. (1)求实数m的值; (2)求近期每天在4,22时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值:ln 6=1.8),解析 (1)将x=6代入f(x)=mln x-x+ -6(4x22,mR),得mln 6-6+ -6=29.6, 解得m=12. (5分) (2)对已知函数求导,得f (x)= +600 =(12-x) . 令f (x)=0,得x=12.列表如下: (9分),所以函数在x=12时取极大值也是最大
24、值,即每天空气质量指数最高的时刻为12时. (12分) 答:(1)实数m的值为12;(2)空气质量指数最高的时刻为12时.(14分),评分细则 第(2)问不列表或文字说明单调性,扣3分;最后未给出“答”,扣2分.,2.(2019锡山高级中学实验学校检测,17)为建设美丽乡村,政府欲将一块长12百米,宽5百米的矩 形空地ABCD建成生态休闲园,园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分),以AB所在直线为x轴, AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).景观湖的边界线符合函数y=x+ (x0)模型,园区服务中心P在x轴正半轴上,PO= 百米. (1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之
25、间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度; (2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道PQ最短.,解析 (1)设M ,则OM2=x2+ =2x2+ +22 +2,当且仅当2x2= ,即x2= 时取 等号, OM的最短长度为 百米. (2)过P作函数y=x+ 图象的切线l, 设切线l的方程为y=k (k0), 联立得 整理得(1-k)x2+ x+1=0, 令= k2-4(1-k)=0,得k=-3或k= (舍去), 直线l的方程为y=-3 . 令y=5,得x=- ,DQ=6- = 百米. 当DQ= 百米时,通道PQ最短.,思路分析 (1)设M ,利用距离公式得出OM2关于x的函数
26、,利用基本不等式求出最小值 即可; (2)当直线PQ与景观湖边界相切时,通道最短,设出切线方程,与边界函数解析式联立,令=0,即 可得出切线方程的斜率,从而确定Q点的位置.,3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,17)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知 空地的一边是直路AB,余下的外围是抛物线的一段弧,直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称 轴(如图).拟在这个空地上规划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪,其中A,B,C,D均在该抛物 线上.经测量,直路AB长为40米,抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.设点C到抛物线的对称 轴的距离为m米,到直路AB的距离为n米. (1)求出n
27、关于m的函数关系式; (2)当m为多大时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大?并求出其最大值.,解析 (1)以直路AB所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系, (1分) 则A(-20,0),B(20,0),P(0,40), (2分) 曲线APB为抛物线的一段弧, 可以设抛物线的解析式为y=a(x-20)(x+20), 将点P(0,40)代入得40=-400a,解得a=- , (4分) 抛物线的解析式为y= (400-x2), (5分) 点C在抛物线上,n= (400-m2),0m20. (6分) (2)设等腰梯形ABCD的面积为S, 则S= (2m+40) (400-m2), (
28、8分) 即S= (-m3-20m2+400m+8 000), (9分) 求导得S= (-3m2-40m+400)=- (3m-20)(m+20), (10分) 令S=0,得m= , (11分),(13分) 当m= 时,等腰梯形ABCD的面积最大,最大面积为 平方米. (14分),4.(2019泰州期末,17)如图,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧AB的中点,现欲 在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB. 已知OA=2千米,AOB= ,记APQ= rad,地下电缆管线的总长度为y千米. (1)将y表示成的函数,并写出的范围;
29、 (2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.,解析 (1)因为Q为弧AB的中点,所以由对称性,知PA=PB,AOP=BOP= , 由题意知APO=-,OAP=- , 由正弦定理得 = = , 又OA=2,所以PA= ,OP= , 所以y=PA+PB+OP=2PA+OP= = . 连接AQ. 因为APQAOP,即 ,又OAQ=OQA= = ,所以 . (2)令f()= , , f ()= ,令f ()=0,得= ,f()在 上递减,在 上递增, 所以当= ,即OP= 时, f()有唯一的极小值,即最小值, f()min=2 . 答:当工作坑P与O的距离为 千米时,地下电缆管线的总长
30、度最小.,考点二 函数的综合应用 (2019天一中学检测,18)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则f(x)称为“局 部奇函数”. (1)已知二次函数f(x)=ax2+x-4a,试判断f(x)是不是“局部奇函数”,并说明理由; (2)若f(x)=2x+m是定义在区间-1,1上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围; (3)若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.,解析 f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0在定义域内有解. (1)对于f(x)=ax2+x-4a(aR),方程f(x)+f
31、(-x)=0,即2a(x2-4)=0,由题意得a0,则x=2, 所以f(x)为“局部奇函数”. (2)对于f(x)=2x+m, f(x)+f(-x)=0即2x+2-x+2m=0, 因为f(x)的定义域为-1,1,所以方程2x+2-x+2m=0在-1,1上有解. 令t=2x,t ,则-2m=t+ ,设g(t)=t+ , 则g(t)=1- = , 当t(0,1)时,g(t)0,故g(t)在(1,+)上为增函数. 所以t 时,g(t) . 所以-2m ,故m . (3)对于f(x)=4x-m2x+1+m2-3, f(x)+f(-x)=0可化为 4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.,令
32、t=2x+2-x,t2,+),则4x+4-x=t2-2, 从而t2-2mt+2m2-8=0在2,+)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”. 令F(t)=t2-2mt+2m2-8, 当F(2)0时,t2-2mt+2m2-8=0在2,+)有解, 由F(2)0,即2m2-4m-40, 解得1- m1+ ; 当F(2)0时,t2-2mt+2m2-8=0在2,+)有解等价于 解得1+ m2 . 综上,所求实数m的取值范围为m|1- m2 .,思路分析 (1)由“局部奇函数”的定义,知f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f (-x)=0在定义域有解,结合函数f(x)=ax2+x-4a,解方
33、程即可得结论;(2)若f(x)=2x+m是定义在-1,1 上的“局部奇函数”,则2x+2-x+2m=0在-1,1有解,分离参数,利用导数求函数的最值,进而可得 实数m的取值范围;(3)若f(x)是定义在R上的“局部奇函数”,则f(x)+f(-x)=0有解,根据分类讨论 思想,结合一元二次方程根的分布,列不等式(组)求出满足条件的m的取值范围可得结果.,一、填空题(每小题5分,共10分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：40分),1.(2019靖江检测,14)已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m,若对任意x1(-,4,均存在x
34、2 3,+),使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是 .,答案 (1,4+2 ),解析 由题意可知, f(x)ming(x)min. 若m3,则f(x)min=f(m)=0,g(x)min=g(3)=m2-10m+9, 即 解得14,则f(x)min=f(4)=m-4,g(x)min=g(m)=m2-7m, 即 解得4m4+2 . 综上,m(1,4+2 ).,2.(2019泰州中学3月检测,14)已知函数f(x)= 若对任意实数k1,g(x)=f(x)-kx都有零 点,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 g(x)=f(x)-kx有零点,即函数y=f(x)与y=kx的图象有公共点. 设
35、F(x)=3x-x-2,x0,F(x)=3xln 3-1, 则F(x)0,F(1)=0, 则y=3x与y=x+2在y轴的右侧只有一个公共点(1,3), 设y=3x在x=x0处的切线方程为y= ln 3(x-x0)+ , 若过原点,x0=log3e1,则过原点的切线方程为y=(eln 3)x, 与y=x+2交点的横坐标为 ,数形结合得a的取值范围是 .,二、解答题(共30分),3.(2017常州教育学会学业水平检测)某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑 到高速公路行车安全要求60x120)时,每小时的耗油量(所需要的汽油量)为 升,其中k为常数,且60k100. (1)若汽车以1
36、20千米/时的速度行驶,每小时的耗油量为11.5升,欲使每小时的耗油量不超过9 升,求x的取值范围; (2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值.,解析 (1)由题意知,当x=120时, =11.5,解得k=100, 由 9,得x2-145x+4 5000, 45x100. 又60x120,60x100. 故x的取值范围为60x100. (2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升,则 y= =20- + (60x120). 令t= ,则t , y=90 000t2-20kt+20=90 000 +20- , 该函数图象的对称轴为直线t= . 60k100, .,若 ,即75k100, 则当t
37、= ,即x= 时,ymin=20- ; 若 ,即60k75, 则当t= ,即x=120时,ymin= - . 答:当75k100时,该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为 升;当60k75时,该汽 车行驶100千米的耗油量的最小值为 升.,4.(2019苏州3月检测,19)已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,aR. (1)当a0; (2)若f(x)在-1,1上是单调增函数,求a的取值范围; (3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在k,k+1上有解.,解析 (1)因为ex0,所以不等式f(x)0转化为ax2+x0, 又因为a0的解集为 . (4分)
38、(2)f (x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=ax2+(2a+1)x+1ex. 当a=0时, f (x)=(x+1)ex, f (x)0在-1,1上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求; (6分) 当a0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为=(2a+1)2-4a=4a2+10, 所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1x2, 因此f(x)有极大值又有极小值. 若a0,因为g(-1)g(0)=-a0x2, 因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在-1,1上单调, 又g(0)=10,必须满足 即 所以- a0,所以x=0不是方程的解, 所以
39、原方程等价于ex- -1=0,令h(x)=ex- -1, h(x)=ex+ , 因为h(x)0对于x(-,0)(0,+)恒成立, 所以h(x)在(-,0)和(0,+)内是单调增函数, (13分) 又h(1)=e-30,h(-3)=e-3- 0, 所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间1,2和-3,-2上, 所以整数k的所有值为-3,1. (16分),C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019 53原创题)设函数f(x)在(-,+)上有定义,且对任意的x,yR,有|f(x)-f(y)|x-y|,并且函 数f(x+1)的对称中心是(-1,0),若函数g(x)-f
40、(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)0的解集是 .,答案 (-,1)(2,+),解析 任取x1,x2(-,+),且x1x1时,有g(x2)g(x1),所以g(x)在R上单调递增. 又因为函数f(x+1)的对称中心是(-1,0), 所以f(x)的对称中心是(0,0),即函数f(x)是奇函数. 又g(x)=f(x)+x,所以g(x)在定义域(-,+)上也是奇函数. 不等式g(2x-x2)+g(x-2)2或x1.,2.(2019泰州期末,19)设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数,过点A,B 分别作函数y=f(x)的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交
41、点为函数f(x)的“优点”. (1)若函数f(x)= 不存在“优点”,求实数a的值; (2)求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围; (3)求证:函数f(x)=ln x的“优点”一定落在第一象限.,解析 (1)由题意可知, f (x)=f 对任意x(0,1)(1,+)恒成立, 不妨取x(0,1), 则f (x)= = =f 恒成立,即a= . 经验证,a= 符合题意. (2)设A(t,t2),B (t0且t1), 因为f (x)=2x, 所以A,B两点处的切线方程分别为y=2tx-t2,y= x- , 令2tx-t2= x- , 解得x= ,x(-,-1)(1,+), 所以“优点”的
42、横坐标的取值范围为(-,-1)(1,+). (3)证明:设A(t,ln t),B ,t(0,1),因为f (x)= , 所以A,B两点处的切线方程分别为y= x+ln t-1,y=tx-ln t-1, 令 x+ln t-1=tx-ln t-1, 解得x= ,则x0, 所以y= +ln t-1= , 设h(m)=ln m- ,m(0,1), 则h(m)= ,则h(m)0, 所以h(m)在(0,1)上单调递增, 所以h(m)0, 所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数,即“优点”在第一象限.,评析 本题考查函数的综合应用,涉及的知识点有新定义,导数的几何意义,两直线的交点,利 用导数研究函数的性质.属于较难题目.,
