1、2014年福建高考理科数学试题逐题详解 （解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的【2014年福建卷（理01）】复数z=（32i）i的共轭复数等于（） A23iB2+3iC23iD2+3i【答案】C【解析】z=（32i）i=2+3i，故选：C【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图为矩形，故选：A【2014年福建卷（理03）】等差数列an的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（） A8 B10 C12 D14【
2、答案】C【解析】由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，公差d=a2a1=42=2，a6=a1+5d=2+52=12，故选：C【2014年福建卷（理04）】若函数y=logax（a0，且a1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）ABCD【答案】B【解析】由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=ax=3x=单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（x）3=x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（x）=log3（x），当x=3时，y=1，但图象明显当x=3时，y=1，故错误故选：B【2
3、014年福建卷（理05）】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（ ）A18B20C21D40【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+n的值，S=21+22+1+2=2+4+1+2=915，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015输出S=20故选：B【2014年福建卷（理06）】直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“OAB的面积为”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1
4、相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则OAB的面积为=成立，即充分性成立若OAB的面积为，则S=2=，解得k=1，则k=1不成立，即必要性不成立故“k=1”是“OAB的面积为”的充分不必要条件故选：A【2014年福建卷（理07）】已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数 Bf（x）是增函数Cf（x）是周期函数Df（x）的值域为1，+）【答案】D【解析】由解析式可知当x0时，f（x）=cosx为周期函数，当x0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C
5、，对于D，当x0时，函数的值域为1，1，当x0时，函数的值域为值域为（1，+），故函数f（x）的值域为1，+），故正确故选：D【2014年福建卷（理08）】在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A=（0，0），=（1，2）B=（1，2），=（5，2）C=（3，5），=（6，10）D=（2，3），=（2，3）【答案】B【解析】根据，选项A：（3，2）=（0，0）+（1，2），则 3=，2=2，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=（1，2）+（5，2），则3=+5，2=22，解得，=2，=1，故选项B能选项C：（3，2）=（3，5）+（6，10），则3=3+6，2=5+10，无
6、解，故选项C不能选项D：（3，2）=（2，3）+（2，3），则3=22，2=3+3，无解，故选项D不能故选：B【2014年福建卷（理09）】设P，Q分别为圆x2+（y6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A5B+C7+D6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x，y），则圆x2+（y6）2=2的圆心为（0，6），半径为，椭圆上的点与圆心的距离为=5，P，Q两点间的最大距离是5+=6故选：D【2014年福建卷（理10）】用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示
7、出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（） A（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c)5C（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【答案】A【解析】所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区
8、别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5），第二步取蓝球，有（1+b5），第三步取黑球，有（1+c）5，所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置【2014年福建卷（理11）】若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为_【答案】1【解析】作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=3x+z的截距最小
9、，此时z最小此时z的最小值为z=03+1=1，故答案为：1【2014年福建卷（理12）】在ABC中，A=60，AC=4，BC=2，则ABC的面积等于 【答案】【解析】ABC中，A=60，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，解得sinB=1，B=90，C=30，ABC的面积=故答案为：【2014年福建卷（理13）】要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （单位：元）【答案】160【解析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10
10、2（a+b）=20（a+b）+80，a+b2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【2014年福建卷（理14）】如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_【答案】【解析】由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，阴影部分的面积为2（eex）dx=2（exex）=2，边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，落到阴影部分的概率为故答案为：【2014年福建卷（理15）】若集合a，b，c，d=1，2，3，4，且下列四个关系：a=1；b1；c=2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数
11、组（a，b，c，d）的个数是_【答案】6【解析】由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个三、解答题：本大题共5小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【2014年福建卷（理16）】已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（1）若0，且sin=，求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间解：（1）0，且sin=，cos=， f（）=cos（sin+cos），=（+）=（2
12、）f（x）=cosx（sinx+cosx）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），T=，由2k2x+2k+，kZ，得kxk+，kZ，f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ【2014年福建卷（理07）】在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图（1）求证：ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值（1）证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD，又CD平面BCD，ABCD（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系A
13、B=BD=CD=1，ABBD，CDBD，B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M=（0，1，1），=（1，1，0），=设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=1，则x=1，z=1=（1，1，1）设直线AD与平面MBC所成角为则sin=|cos|=【2014年福建卷（理18）】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客
14、所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，X6020P即X的分布列为 所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20+60=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖
15、励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1
16、，则X1的分布列为 X16020100PX1 的数学期望为E（X1）=X1 的方差D（X1）=，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2402080PX2 的数学期望为E（X2）=60，X2 的方差D（X2）=差D（X1）=由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2【2014年福建卷（理19）】已知双曲线E：=1（a0，b0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=2x（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限
17、），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=2x，所以=2 所以=2故c=a，从而双曲线E的离心率e=（2）由（1）知，双曲线E的方程为=1设直线l与x轴相交于点C，当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，所以|OC|AB|=8，因此a4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为=1以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为=1也满足条件设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k2或k2；则C（，0
18、），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由SOAB=|OC|y1y2|得：|=8，即m2=4|4k2|=4（k24）因为4k20，所以=4k2m2+4（4k2）（m2+16）=16（4k2m216），又因为m2=4（k24），所以=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为=1【2014年福建卷（理20）】已知函数f（x）=exax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为1（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x0时，x2ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在
19、x0，使得当x（x0，+）时，恒有xcex解：（1）由f（x）=exax得f（x）=exa又f（0）=1a=1，a=2，f（x）=ex2x，f（x）=ex2 由f（x）=0得x=ln2，当xln2时，f（x）0，f（x）单调递减；当xln2时，f（x）0，f（x）单调递增；当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln22ln2=2ln4f（x）无极大值（2）令g（x）=exx2，则g（x）=ex2x，由（1）得，g（x）=f（x）f（ln2）=eln22ln2=2ln40，即g（x）0，当x0时，g（x）g（0）0，即x2ex；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=0当x（x0，+）
20、时，由（2）得exx2x，即xcex对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（x0，+）时，恒有xcex在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换【2014年福建卷（理21）】已知矩阵A的逆矩阵A1=（）（1）求矩阵A；（2）求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解：（1）设A=，则由AA1=E得=，解得a=，b=，c=，d=，所以A=；（2）矩阵A1的特征多项式为f（）=（2）21，令f（）=（2）21=0，可求得特征值为1=1，2=3，
21、设1=1对应的一个特征向量为=，则由1=M，得x+y=0得x=y，可令x=1，则y=1，所以矩阵M的一个特征值1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值2=3对应的一个特征向量为五、选修4-4：极坐标与参数方程【2014年福建卷（理22）】已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为常数）（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2xy2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=直线L与圆C有公共点，d4，即4，解得2a2六、选修4-5：不等式选讲【2014年福建卷（理23）】已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x2|的最小值为a（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r23( 1）解：|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，当且仅当1x2时，等号成立， f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数， 由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）（p1+q1+r1）2 =（p+q+r）2=32=9， 即p2+q2+r23
