初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第2讲 判别式-二次方程根的检测器.doc

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1、第二讲 判别式二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格,工厂里通常使用各种检验仪器,为了辨别钞票的真伪,银行里常常使用验钞机,类似地,在解一元二次方程有关问题时,最好能知道根的特性:如是否有实数根,有几个实数根,根的符号特点等。我们形象地说,判别式是一元二次方程根的“检测器”,在以下方面有着广泛的应用: 利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性; 运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围; 通过判别式,证明与方程相关的代数问题; 借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题。【例题求解】【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那

2、么的取值范围是 。 (广西中考题)思路点拨:利用判别式建立关于的不等式组,注意、的隐含制约。注:运用判别式解题,需要注意的是: (1)解含参数的二次方程,必须注意二次项系数不为0的隐含制约; (2)在解涉及多个二次方程的问题时,需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下,综合运用方程、不等式的知识。【例2】 已知三个关于的方程:,和,若其中至少有两个方程有实根,则实数的取值范围是( ) (山东省竞赛题)A、 B、或 C、 D、思路点拨:“至少有两个方程有实根”有多种情形,从分类讨论人手,解关于的不等式组,综合判断选择。【例3】 已知关于的方程, (1)求证:无论取任何实数值,方程总有实数根; (

3、2)若等腰三角形ABC的一边长1,另两边长、c恰好是这个方程的两个根,求ABC的周长。 (湖北省荆门市中考题)思路点拨:对于(1)只需证明0;对于(2)由于未指明底与腰,须分或、中有一个与c相等两种情况讨论,运用判别式、根的定义求出、的值。注:(1)涉及等腰三角形的考题,需要分类求解,这是命题设计的一个热点,但不一定每个这类题均有多解,还须结合三角形三边关系定理予以取舍。 (2)运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉,而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考,竞赛依托判别式的创新题型,解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。【例4】 设方程,只有3个不相等的实数根,求的值和相应

4、的3个根。 (重庆市竞赛题)思路点拨:去掉绝对值符号,原方程可化为两个一元二次方程原方程只有3个不相等的实数根,则其中一个判别式大于零,另一个判别式等于零。【例5】已知:如图,矩形ABCD中,AD,DC,在 AB上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似,设AE,问:这样的点E是否存在?若存在, 这样的点E有几个?请说明理由。 (云南省中考题)思路点拨:要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似,点E必须满足AED+BEC90,为此,可设在AE上存在满足条件的点E使得RtADERtBEC,建立一元二次方程的数学模型,通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。 注:有些与一

5、元二次方程表面无关的问题,可通过构造方程为判别式的运用铺平道路,常见的构造方法有: (1)利用根的定义构造; (2)利用根与系数关系构造; (3)确定主元构造。判别式二次方程根的检测器学力训练1、已知,若方程有两个相等的实数根,则= 。2、若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是 。 (辽宁省中考题)3、已知关于方程有两个不相等的实数解,化简= 。4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( ) A、 B、 C、且 D、且 (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为、,B90,那么关于的方程的根的情况为( ) A、有两个相等的实数根 B、没有实数根C、有两个不相等的

6、实数根 D、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于的方程只有一个实数根,那么方程的根的情况是( ) A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC中, A、B、C的对边分别为、,已知,和是 关于的方程的两个实数根,求ABC的周长。(济南市中考题)8、已知关于的方程 (1)求证:无论m取什么实数,方程总有实数根;(2)如果方程的两实根分别为、,满足=3,求实数的值。(盐城市中考题)9、为实数,关于的方程有三个不等的实数根。(1)求证:;(2)若该方程的三个不等实根,恰为一个三角形三内角的度数,求证该三角形必有

7、一个内角是60;(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边,求和的值。 (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程,中至少有一个方程有实根,则m的取值范围是 。(2002年四川省竞赛题)11、当= ,= 时,方程有实数根。 (全国初中数学联赛试题)12、若方程有且只有相异二实根,则的取值范围是 。13、如果关于的方程没有实数根,那么关于的方程的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定14、已知一元二次方程,且、可在1、2、3、4、5中取值,则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12个 B、10个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)15、已知ABC的三边长为a、b

8、、c,且满足方程,则方程根的情况是( ) A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)16、若a、b、c、d0,证明:在方程;中,至少有两个方程有两个不相等的实数根。 (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a、b、c满足,abc1,求证:a、b、c中至少有一个大于。18、关于的方程有有理根,求整数是的值。 (山东省竞赛题) 19、考虑方程(1)若=24,求一个实数,使得恰有3个不同的实数满足式。(2)若25,是否存在实数,使得恰有3个不同的实数满足式?说明你的结论。 (国家理科实验班招生试题)20、如图,已知边长为的正方形ABCD内接于边长为的正方形EFGH,试求的取值范围。参考答案 6

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