初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手.doc

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1、第三十讲 从创新构造入手 有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息,把问题作适当的加工处理构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方法构造法是一种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的 构造法的基本形式是以已知条件为“原料”,以所求结论为“方向”,构造一种新的数学形式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有: 1构造方程; 2构造函数; 3构造图形; 4对于存在性问题,构造实例; 5对于错误的命题,构造反例;6构造等价命题等【例题求解】【例1】 设、都为实数,满足,求证

2、: 思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试仔细观察已知等式特点,、可看作方程的两根,则,通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻 注:一般说来,构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型;利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设计一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等 【例2】 求代数式的最小值思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值,于是问题转化为:在 轴上求一点C(1,0),使它到两点A(一1,1)和B(2,3)的距离和(CA+CB)

3、最小,利用对称性可求出C点坐标这样,通过构造图形而使问题获解【例3】 已知、为整数,方程的两根都大于且小于0,求和的值 思路点拨 利用求根公式,解不等式组求出、的范围,这是解本例的基本思路,解法繁难由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令,从讨论抛物线与轴交点在与0之间所满足的约束条件入手 【例4】 如图,在矩形ABCD中,AD=,AB=,问:能否在Ab边上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的E点有几个?若不能找到,请说明理由思路点拨 假设在AB边上存在点E,使RtADERtBECRtECD,又设AE=,则,即,于是将问题转化为关于的一元

4、二次方程是否有实根,在一定条件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题【例5】 试证:世界上任何6个人,总有3人彼此认识或者彼此不认识思路点拨 构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把2个人之间的关系看作染成颜色的线段比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色;2个人彼此不认识,就把相应的线段染成蓝色,这样,有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形,否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形,这样本题就化作:已知有6个点,任何3点不共线,每2点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色,并且一条边只能染成一种颜色证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形注:“数缺形时少直观,形缺少

5、时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在: (1)几何问题代数化; (2)利用图形图表解代数问题; (3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解 利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质列出代数式或方程(组),再进行计算或证明 特别地,证明几何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证;应用为韦达定理,讨论几何图形位置的可能性 有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把握对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性问题的“构造性证明”学历训练1若关于的方程的所有根都

6、是比1小的正实数,则实数的取值范围是 2已知、是四个不同的有理数,且,那么的值是 3代数式的最小值为 4A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛,已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场,则还未与B队比赛的球队是 5若实数、满足,且,则的取值范围是 6设实数分别、分别满足,并且,求的值 7已知实数、满足,求证: 8写出10个不同的自然数,使得它们中的每个是这10个数和的一个约数,并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由9求所有的实数,使得 10若是不全为零且绝对值都小于106的整数求证: 11已知关于的方程有四个不同的实根,求的取值范围12设0,求证13从自然数l,2,3,354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差为177 14已知、是满足,的实数,试确定的最大值 15如图,已知一等腰梯形,其底为和,高为 (1)在梯形的对称轴上求作点P,使从点P看两腰的视角为直角; (2)求点P到两底边的距离; (3)在什么条件下可作出P点? 参考答案 6

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