1、第一节坐标系,总纲目录,教材研读,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,考点突破,2.极坐标系与极坐标,3.极坐标与直角坐标的互化,考点二极坐标方程与直角坐标方程的互化,考点一平面直角坐标系中的伸缩变换,4.常见曲线的极坐标方程,考点三曲线极坐标方程的应用,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,教材研读,2.极坐标系与极坐标(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常
2、取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.,(2)极坐标(i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为.(ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.(iii)极坐标:有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).,3.极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之间的关系为,4.常见曲线的极坐标方程,1.曲线y=sin x经过变换?后得到曲线C,则曲线C的周期T和ymax分别为?()A.T=,ymax=3B.T=4,ymax=3C.T=,ymax=?D.T=4
3、,ymax=,答案A由?得?将其代入y=sin x得?y=sin 2x,即y=3sin 2x.即曲线C的解析式为y=3sin 2x,故T=?=,ymax=3,故选A.,A,2.在极坐标系中,A?,B?两点间的距离为?()A.2B.3C.6D.3,C,3.极坐标方程cos =2sin 2表示的曲线为?()A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆,C,答案C由cos =2sin 2=4sin cos ,得cos =0或=4sin .当cos =0时,=?(R),极坐标方程表示一条直线;当=4sin 时,极坐标方程表示一个圆.故选C.,4.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负
4、半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为?()A.=?,0?B.=?,0?C.=cos +sin ,0?D.=cos +sin ,0,A,答案A?y=1-x化为极坐标方程为cos +sin =1,即=?.0x1,线段在第一象限内(含端点),0?.故选A.,5.在极坐标系中,直线cos -?sin -1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|=.,2,答案2,解析直线与圆的直角坐标方程分别为x-?y-1=0和(x-1)2+y2=1,则该圆的圆心坐标为(1,0),半径r=1,圆心(1,0)到直线的距离d=?=0,所以AB为该圆的直径,所以|AB|=2.,6.在极坐标系
5、中,点?到直线(cos +?sin )=6的距离为.,1,答案1,解析由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点?对应的直角坐标为(1,?),直线(cos +?sin )=6对应的直角坐标方程为x+?y=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离为?=1.,考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换典例1在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换?后,曲线C1:x2+y2=36变为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)P、Q分别为C1与C2上的点,求|PQ|的最小值与最大值.,考点突破,解析(1)设圆x2+y2=36上任一点为A(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为A(x,y),则?4x2+9y2=36,即?+
6、?=1.曲线C2的方程为?+?=1.(2)C1是以O为圆心,半径r=6的圆,C2是以O为中心,长半轴长a=3,短半轴长b=2的椭圆(如图).|PQ|min=r-a=6-3=3.|PQ|max=r+a=6+3=9.,规律总结求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线y=f(x)在变换:?的作用下的变换方程的求法是将?代入y=f(x),将?=f?整理之后得到y=h(x),即为所求变换之后的方程.,1-1在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆x2+y2=1变换为椭圆?+?=1.,1-2(2018河北保定质检)若函数y=f(x)的图象在伸缩变换:?的作用下得到的曲线方程为y=3sin?,求函数y
7、=f(x)的最小正周期.,解析由题意,把变换公式代入曲线方程y=3sin?得3y=3sin?,整理得y=sin?,故f(x)=sin?.所以y=f(x)的最小正周期为?=.,典例2在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l:sin?=?.(0,02)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.,考点二极坐标方程与直角坐标方程的互化,解析(1)由=cos +sin 可得2=cos +sin ,把?代入2=cos +sin 得,圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.由l:sin?=?,得sin -cos =1,因为?所以直线l的直角坐标方
8、程为x-y+1=0.,规律总结直角坐标与极坐标互化的方法将极坐标(或极坐标方程)转化为直角坐标(或直角坐标方程),直接利用公式x=cos ,y=sin 即可.将直角坐标(或直角坐标方程)转化为极坐标(或极坐标方程),要灵活运用x=cos ,y=sin 以及=?,tan =?(x0),同时要注意所在直角坐标系中的象限.,2-1已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2,2-2?cos?=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线方程为
9、x+y=1,化为极坐标方程为cos +sin =1,即sin?=?.,2-2在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=?(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,得2-3?+4=0,解得1=2?,2=?,故1-2=?,即|MN|=?.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为?.,典例3(2017课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4.(1)
10、M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为?,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,考点三曲线极坐标方程的应用,规律总结在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.,3-1在直角坐标系xOy中,半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0y1).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是(sin +?cos )=5?,射线OM:=?与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.,3-2在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.设C的极坐标方程为=2sin ,点P为C上一动点,点M的极坐标为?,点Q为线段PM的中点.(1)求点Q的轨迹C1的方程;(2)试判定轨迹C1和C的位置关系,并说明理由.,(2)轨迹C1和C外切,理由如下:因为C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1,而轨迹C1是圆心为?,半径为?的圆,所以两圆的圆心距为?,等于两圆半径和,所以两圆外切.,
