1、难题突破题型（六）几何最值问题题型解读在近几年中考中,我们常常遇见一类求线段最大值、最小值的问题.这类问题知识覆盖面较广,综合性较强.在复习中有必要把这些相似的、存在联系的题目及解决方法进行系统地概括归纳,发现其规律性,形成统一的模型,以加深对此类题目的理解.对于单线段最值问题,往往利用“垂线段最短”或“点到圆的距离”来求解;对于线段和的最值问题往往可以利用“将军饮马”模型或者“胡不归”“阿氏 圆”模型来解决.例例1 常规题型 点P是RtABC斜边AB上一点,PEAC于点E,PFBC于点F,BC=6,AC=8,则线段EF长的最小值为.|类型一|线段的最值问题图Z6-1【分层分析】连结PC,根据
2、矩形对角线相等,可得EF=CP,因为点C为定点,点P为线段AB上的一个动点,利用“垂线段最短”的性质即可求得CP的最小值,从而得到EF的最小值.答案 4.8 例例2 如图Z6-2,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直线翻折,得到BCP,连结BA,则BA长度的最小值是.【分层分析】由翻折可知CB=CB始终成立,即CB=3为定值.由勾股定理可求得AC=4,再根据三角形三边关系即可求得BA的最小值.图Z6-2答案 1点A,B是直线l外同侧两点,在直线l上求作一点P,使AP+BP最小.解决方法:作点A关于直线l的对称点A.连结AB,交
3、直线l于点P,则点P使AP+BP最小.|类型二|将军饮马类最值问题图Z6-3例例3 2018永州节选 如图Z6-4,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式.(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.图Z6-4【分层分析】(1)已知抛物线的顶点坐标,故设出顶点式方程y=a(x-1)2+4,将E点坐标代入求出a的值,即可求出二次函数的表达式;解:(1)设所求二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4,抛物线与y轴交于点E(0,3),a(0
4、-1)2+4=3,解得a=-1,所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.例例3 2018永州节选 如图Z6-4,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.图Z6-4【分层分析】(2)由于点E,F位于抛物线的对称轴的同侧,因此,只需要作出其中一个点关于对称轴的对称点,再连结这个对称点与另外一个点,所得直线与对称轴的交点,即为所求的点G,使得EG+FG最小.胡不归模型解析胡不归模型解析:如图
5、Z6-5,已知A是直线BC外一点,A,B为定点,P在BC上运动,求AP+kPB(0k1)的最小值.|类型三|PA+kPB型最值问题(胡不归和阿氏圆问题)图Z6-3解决方法:在B处构造直线l,使l与BC的夹角为,且满足sin=k,过P向l作垂线,垂足为Q,则PQ=kPB,过A向直线l作垂线,分别交BC,l于Pmin,Qmin两点,于是AP+kPB=AP+PQAQmin.图Z6-3图Z6-6答案 B“阿氏圆”模型解析:如图Z6-7所示,O的半径为r,点A,B都在O外,P为O上的动点,已知r=kOB.连结PA,PB,求“PA+kPB”的最小值.图Z6-7解决方法:找另一个定点C,使得P在圆周上运动时
6、,总有PC=kPB,这样就可以将问题转化为常见的求线段PA+PC和的最小值问题.如图,在线段OB上截取OC,使OC=kr,则可说明BPO与PCO相似,得kPB=PC,则本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,当A,P,C三点共线,且P在线段AC上时最小.图Z6-7图Z6-8答案 A|题型精练|1.如图Z6-9,BAC=30,M为AC上一点,AM=4,点P是AB上一动点,PQAC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为.图Z6-92.如图Z6-10,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=30,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是.图Z6-10图Z6-114.如图Z6
7、-12,点A,B在O上,OA=OB=6,且OAOB,点C是OA的中点,点D在OB上,且OD=4,动点P在O上,则2PC+PD的最小值为.图Z6-12图Z6-13答案 5图Z6-14答案 D图Z6-15答案 B8.如图Z6-16,点P是AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若PMN周长的最小值是5 cm,则AOB的度数是()A.25B.30C.35D.40图Z6-16答案 B9.如图Z6-17,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E,F分别是BC,DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为()A.50B.60C.70D.80图Z6-17答案 D解析分别作A关于BC和CD的对称点A,A,连结AA,交BC于E,交CD于F,则AA长即为AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知DAB=130,HAA=50.又EAA=EAA,FAD=A,且EAA+EAA=AEF,FAD+A=AFE,所以AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A=2(AAE+A)=2HAA=100,所以EAF=180-100=80,故选D.图Z6-18图Z6-18图Z6-18图Z6-18
