1、难题突破题型（九）平行四边形存在性问题题型解读存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年各地中考的“热点”.解这类题目的一般思路是:假设存在推理论证得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出不存在的判断.例例1 如图Z9-1,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),若以点A,B,C为顶点作一个平行四边形,试写出第四个顶点D的坐标,你的答案唯一吗?【分层分析】(1)符合条件的点D有几个?(2)如何进行分类?
2、|类型一|已知三定点,探究第四个点,使之构成平行四边形图Z9-1解:答案不唯一,有三种情况:若AB为平行四边形的对角线,则点D的坐标为(-15,4);若BC为平行四边形的对角线,则点D的坐标为(3,-8);若AC为平行四边形的对角 线,则点D的坐标为(9,4).【方法点析】已知三定点,探求第四个点,使之构成平行四边形,可以按对角线进行分类,求出点的坐标,再验证是否符合限制条件.例例2 如图Z9-2,抛物线y=x2-2x-3与x轴的负半轴交于A点,与y轴交于C点,顶点是M,经过C,M两点作直线与x轴交于点N.(1)直接写出点A,C,N的坐标.(2)在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,
3、N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-2【分层分析】(1)根据抛物线的函数表达式即可求得A,C和顶点M的坐标,然后求出直线CM的函数表达式便可求得点N的坐标.解:(1)A(-1,0),C(0,-3),N(-3,0).例例2 如图Z9-2,抛物线y=x2-2x-3与x轴的负半轴交于A点,与y轴交于C点,顶点是M,经过C,M两点作直线与x轴交于点N.(2)在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-2【分层分析】(2)根据例1的方法,先求出使得以点P,A,C,N为顶
4、点的四边形为平行四边形的点P的坐标,然后逐一代入抛物线的函数表达式验证可得符合条件的点P.解:(2)存在.若AC为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(2,-3);若AN为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(-4,3);若CN为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(-2,-3).把这三个点的坐标分别代入y=x2-2x-3验证,得点P(2,-3)在该抛物线上,因此存在符合条件的点P,点P的坐标为(2,-3).|类型二|已知两个定点,探索限定条件下的另两个动点,使之构成平行四边形图Z9-3 例例3 2019甘肃节选 如图Z9-3,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0
5、),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.【分层分析】(1)直接根据题意设出二次函数的交点式求解,也可以将A,B两点坐标代入列方程组求解;解:(1)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且x2的系数为1,二次函数的解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3,即y=x2-4x+3.图Z9-3 例例3 2019甘肃节选 如图Z9-3,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(2)若点P为抛物
6、线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.【分层分析】(2)分两种情况:AB为平行四边形一条边;AB为平行四边形的一条对角线,分别求解即可.解:(2)当AB为平行四边形一条边时,如图,则AB=PF=2,则点P的坐标为(4,3),根据对称性,当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,点P(4,3)或(0,3);图Z9-4【分层分析】(1)先求出A点的坐标,再用待定系数法求L1对应的函数表达式即可;图Z9-4【方法点析】对于两个定点、两个动点的问题,一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标,然后
7、把这三点看成定点,用该未知数表示另一个动点的坐标,最后再根据动点应满足的条件,求出相应点的坐标.|题型精练|1.2019宜宾节选 如图Z9-5,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-5分析(1)将A(0,-3),B(3,0)两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析
8、式即可求解;1.2019宜宾节选 如图Z9-5,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-5分析(2)先求出C点坐标和E点坐标,可得CE=2,分两种情况讨论:若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN,若点M在x轴上方,四边形CENM为平行四边形,同得CE=MN,设M,N点坐标,可分别得到方程
9、求出点M的坐标.图Z9-63.2019广安 如图Z9-7,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).图Z9-7(1)求抛物线和直线l的解析式.(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PEx轴交直线l于点E,作PFy轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值.(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的坐标
10、;若不存在,请说明理由.图Z9-7分析(1)将点A,D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式,即可求解;3.2019广安 如图Z9-7,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PEx轴交直线l于点E,作PFy轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值.图Z9-7分析(2)设出P点坐标,用参数表示PE,PF的长,利用二次函数求最值
11、的方法求解;3.2019广安 如图Z9-7,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-7分析(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.图Z9-8(1)当m=3时,求点A的坐标.(2)DE=
12、,设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围.(3)连结BD,过点A作BD的平行线,与(2)中的函数图象交于点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形?图Z9-8图Z9-8图Z9-8图Z8-8(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t0).过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A,E,F,Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.图Z8-8图Z8-8图Z8-8(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t0).过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A,E,F,Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.
