1、专题研究 平面向量的综合应用 专 题 讲 解 题型一 向量与平面几何 (2016 江苏 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， D 是BC 的中点 ， E ， F 是 AD 上的两个三等分点 ，BA CA 4 ， BF CF 1 ， 则 BE CE的值是_ 【解析】 ( 坐标法 ) 以 D 为坐标原点 ， BC 所 在直线为 x 轴 ，线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系 ， 设 B( a ， 0 ) ，C (a ， 0 ) ， A (b ， c ) ， 则 E(23b ，23c ) ， F (13b ，13c ) ， BA (b a ， c ) ， CA (b a ， c ) ， BF
2、 (b3 a ，c3) ， CF (b3 a ，c3) ， BE (23b a ，23c ) ，CE (23b a ，23c ) ， 由 BA CA b2 a2 c2 4 ， BF CFb29 a2c29 1 ， 解得 b2 c2458， a2138， 则 BE CE49(b2 c2) a278. 快速解法 ( 基向量法 ) 设 BD a ， DF b ， 则 BA CA ( a 3 b ) ( a 3 b ) 9| b |2 | a |2 4 ， BF CF ( a b ) ( a b ) | b |2 | a |2 1 ， 解得 | a |2138， | b |258， 则 BE CE (
3、 a 2 b ) ( a 2 b ) 4| b |2 | a |278. 【答案】 78状元笔记 平面几何问题的向量解法 (1) 坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中 ， 就赋予了有关 点与向量具体的坐标 ， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 ， 从而使问题得到解决 (2) 基向量法 适当选取一组基底 ， 沟通向量之间的联系 ， 利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解 思考题 1 (1) 如图所示 ， 在 ABC 中 ， AD AB ， BC3 BD， | AD| 1 ， 则 AC AD ( ) A 2 3 B.32C.33D. 3 【解析】 AC AD ( AB BC) AD A
4、B AD BC AD BC AD 3 BD AD 3 | BD| AD| cos B DA 3 | AD|23 . 【答案】 D (2) 已知 ABC 的三边长 AC 3 ， BC 4 ， AB 5 ， P 为 AB边上任意一点 ， 则 CP ( BA BC) 的最大值为 _ 【解析】 方法一： ( 坐标法 ) 以 C 为原点 ，建立平面直角坐标系如图所示 ， 设 P 点坐标 为 ( x ，y ) 且 0 y 3 ， 0 x 4 ， 则 CP ( BA BC) CP CA (x ， y ) (0 ， 3 ) 3y ， 当 y 3 时 ， 取得最大值 9. 方法二： ( 基向量法 ) CP CA AP， BA BC CA， CP ( BA BC) ( CA AP) CA CA2 AP CA 9 AP AC 9 | AP| AC| cos BAC 9 3| AP| cos B AC . cos BAC 为正且为定值 ， 当 | AP|最小即 | AP| 0 时 ， CP ( BA BC) 取得最大值 9. 【答案】 9
