1、第九讲第九讲 投影变换投影变换 5-1 概概 述述 5-2 换面法换面法基本要求基本要求 5-3 旋转法旋转法a基本要求 （1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（4）了解用旋转法的基本原理及用旋转法求线段实长的作图方法。a5-1 概 述 当直线或平面对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，至少有一个投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上
2、述的特性。投影变换就是将直线或平面由一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，从而简便地解决一些定位、度量问题。将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的位置，一般有三种途径，即：几何元素不动，变换投影面称换面法；投影面不动，变换几何元素称旋转法；几何元素和投影面都不动，变换投影方向称换向法；aaabbbaabccddaabbccaabb 两点之间距离aabbcc三角形实形一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比 aabbccddabbccdd 直线与平面的交点abcdab c(d)两平面夹角aa 5-2 换面法 换面法就是保持空
3、间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。一、换面法的基本概念二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律四、六个基本问题aVAHCB c bX aa bc一、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题。V/H 体系变为V1/H 体系c1b1a1(b)cabacX新投影面V1H新轴旧投影面旧轴保留的不变投影面a 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。2、
4、新投影面必须垂直于保留投影面。VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a1二、新投影面的选择原则a三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律1、点的一次变换2、点的投影变换规律3、点的两次变换aa1aXVHa VHXX1HV1V1a1X1 V1a1aAa2 点的投影变换规律1、点的新投影和保留投影的连线，必垂直于新投影轴。2、点的新投影到新投影轴的距离，等于点本次被换掉的旧投影到本次被换掉的旧投影轴的距离。1 点的一次变换a 点在V/H1体系中的投影 X1H1Va1VHXaAaa1H1H1X1a1X1XVHaa aa1X1a1x1a xx1xaVXHa2aaa1XVHX1HV1 3 点的
5、两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAaa四、六个基本问题四、六个基本问题1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题12、把投影面平行线变为投影面垂直线3、把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题1 思考题2 例题24、把一般位置平面变为投影面垂直面 例题3 例题45、把投影面垂直面变为投影面平行面6、把一般位置平面变为投影面平行面 例题5aVHXA aBb a bV1X11、把一般位置直线变为投影面平行线 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVHSCa例题1 求直线的实长及倾角。bab aXHVX1H1Va1b1SCaVHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa1
6、2、把投影面平行线变为投影面垂直线 bbSCAB（b1）a1H1(b1)a3 把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图）X2H2V1a aXVHb ba2（b2）X1HV1a1 b1 aaaX b bcc思考题1 如何求点C到直线AB的距离？X2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1提示VH把一般位置直线变为投影面垂直线aaaXbb cdcd思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？X2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1V提示HaX2H2V1X1HV1 a2b2d2c2b1a1d1c1112121ba bdcaXVHdc21 1222例题2 求两直线AB与CD公垂线
7、的投影及其最短距离。H2SCaa cXVHbb ac VH Xcba bCA cBa ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d14、把一般位置平面变为投影面垂直面 ak1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba css例题3 求点S到平面ABC的距离。SCHVX ddaa c b bac eNkeN ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1例题4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。aVH cbXCABb ca abca b acXHVa1c1b1X1X1V1Hsx b1a1c1V1V1c1b1a15、把投影面垂直面变为投影面平行面aa cXVHbb
8、ac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H16、把一般位置平面变为投影面平行面 SXa例题5 已知点E在ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2sxa换换 面面 法法 小小 结结一般位置直线投影面平行线投影面垂直线新轴保留投影新轴实长投影求SC、求保留H投影求保留V投影可利用积聚性一般位置平面 换两次，先新轴保留投影换成投影面平行线，再新轴实长投影换成投影面垂直线新轴平面上的投影面平行线的实长投影投影面垂直面投影面平行面新轴积聚投影可利用积聚性；求平面的、，求作水平
9、线求作正平线求SC换两次，先新轴平面上的投影面平行线的实长投影换成投影面垂直面，再新轴积聚投影换成投影面平行面a6-3 旋转法 旋转法就是投影面保持不动，将空间几何元素绕某一轴旋转，使空间几何元素对投影面处在有利于解题的相对位置。一、点的旋转规律二、直线的旋转1、直线旋转的投影规律2、直线旋转的投影作图a2 点的旋转规律 若点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作圆周运动，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。oo一 点的旋转规律VHAaoOo1 点绕正垂轴旋转 轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形AaAaaaaaaafffaaa二、直线的旋转aabb2、直线旋转的投影规律b1
10、a1a1b1 oooo 1、直线的旋转可用直线上两点的旋转来决定。且必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。当直线绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，直线在该投影面上的投影长度不变长度不变.直线上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此因此直线在直线在进行绕铅垂线旋转法进行绕铅垂线旋转法投影变换时，其水平投影变换时，其水平面投影长度不变。面投影长度不变。同样道理，同样道理，直线绕正直线绕正垂线进行旋转法投影垂线进行旋转法投影变换时，其正投影长变换时，其正投影长度不变。度不变。a三、平面的旋转aabb2、平面旋转的投影变化规律b1a1a1b1
11、ccc1c1oooo 1、平面的旋转由不在同一直线上的三点(或其它几何要素组合)的旋转来决定。必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变。当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，它在该投影面上的投影形状和形状和大小不变大小不变。平面上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。因此因此，当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变。当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变。当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变。当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变。aVHABabb1 aB1 当直线、平面绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它们
12、对该投影面的倾角不变，而对另一面投影的倾角则随着旋转而改变。当过直线的端点作旋转轴时,解题更简便.a 把一般位置直线旋转成投影面平行线ababb1OXb1SCABab1OXaeeabcbacb1c1a1e1a1b1e1c1把一般位置平面旋转成投影面垂直面 把一般位置平面旋转把一般位置平面旋转成正（铅）垂面成正（铅）垂面,实际上实际上就是把平面内的一条水就是把平面内的一条水（正）平线旋转为正（正）平线旋转为正（水）平线。（水）平线。求法为：在平面中求一条水平线（BE）将BE旋转成正垂线B1E1，求得一个旋转角度。以同样大小的旋转角度将A、C两点绕B点旋转，求得正垂面A1B1C1(ABC A1B1
13、C1)a 把投影面垂直面旋转成投影面平行面abcabcb1a1实形实形a1b1a例题例题 过过M点作直线点作直线MN与直线与直线AB正交，并求垂线正交，并求垂线实长实长mababmm1a1b1m1a1b1n1n1nn 第一次旋转：将A绕铅垂线旋转成正平线，M同时旋转。则m1n1a1b1垂线已在作出。为求实长，进行第二次旋转，将AB和M一起绕正垂线旋转，把AB旋转成铅垂线。m2a2b2n2m2a2b2n2SCa四、六个基本问题四、六个基本问题1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题12、把投影面平行线变为投影面垂直线3、把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题1 思考题2 例题24、把一般位置平面变为投影面垂直面 例题3 例题45、把投影面垂直面变为投影面平行面6、把一般位置平面变为投影面平行面 例题5a本讲重、难点 （1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（体现在如何画新轴上）（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（体现在应该先变换哪一个投影面上）（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（这一问题在教材上有分类总结）a习题习题P2P3a
