1、二次函数的应用考点考点考点二次函数的实际应用二次函数的实际应用1.应用二次函数解决实际问题的方法(1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系;(2)根据等量关系列出函数表达式;(3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;(4)利用函数性质解决问题;(5)检验并写出合适答案.考点2.二次函数应用问题的常见类型(1)最值型列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;配方或用公式法求顶点;如果顶点在自变量的取值范围内,那么二次函数在顶点处取得最大值(或最小值);如果自变量的取值范围是x1xx2,顶点在自变量的取值范围x1xx2内,则当 ,如果顶点不在此范围内,则需根据二次函数增减性确
2、定最值.考点(2)现实生活中的抛物线型弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实际条件转化成坐标;利用待定系数法求出二次函数关系式;将题目中提出的实际问题转化为函数问题;利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.(3)几何图形面积型找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量;找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式;确定自变量的取值范围;利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1二次函数与增长率1.(201412,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三
3、月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=a(1+x)2.解析 一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,二月份研发资金为a(1+x).三月份的研发资金为y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2几何图形面积与二次函数2.(201522,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值
4、范围.(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3利润与资源的最优化3.(201722,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表.(1)求y与x之间的函数表达式.(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本).(3)试说明总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)设y=kx
5、+b.y=-2x+200(40 x80).(2)W=xy-40y=x(-2x+200)-40(-2x+200)=-2x2+280 x-8 000=-2(x-70)2+1 800.(3)由(2)可知,当40 x70时,W随x的增大而增大,当70 x80时,W随x的增大而减小,当x=70时利润最大,为1 800元.命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4现实生活的抛物线4.(201223,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.
6、43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.命题点1命题点2命题点3命题点4考法1考法2考法3考法考法1图形面积问题图形面积问题例1(2016安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.考法1考法2考法3解
7、:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CEAD于点E,CFx轴于点F.则S=SOAD+SACD+SBCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x,所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2x6).因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.考法1考法2考法3方法总结求图形的面积,一般通过转化解决,本题连接CD和添加一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和,把得到的二次函数配方成顶点形式可求二次函数的最值.考法1考法2考法3对应训练1.(
8、2017山东潍坊)工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大.(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低?最低为多少?考法1考法2考法3解:(1)如图所示.设裁掉的正方形的边长为x cm,由题意得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6(舍去
9、).所以裁掉的正方形的边长为2 dm.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x5(6-2x),所以0 x2.5.设总费用为w,由题意可知w=0.52x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24.因为其图象对称轴为x=6,开口向上,所以当00)的相关费用,当40 x45时,农经公司的日获利的最大值为2 430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)考法1考法2考法3解:(1)假设p与x成一次函数,设p=kx+b,由表格知当x=30时,p=600,当x=50时,p=0,p=-30 x+1 500,把x=35,p=450;x=40,p=300
10、;x=45,p=150代入,均符合;假设p与x成二次函数、反比例函数时,仿照上述方法均不符合.p与x的关系式是p=-30 x+1 500.(2)设每日的销售利润为y元,由题意得y=(x-30)p=(x-30)(-30 x+1 500)=-30(x-40)2+3 000.当销售价格定为40元/千克时,才能使每日销售利润最大.考法1考法2考法3(3)设农经公司日获利W元,则W=y-ap=-30(x-40)2+3 000-a(-30 x+1 500)=-30 x2+(2 400+30a)x-1 500a-45 000当40 x45时,日获利最大值为2 430元,分三种情况:考法1考法2考法32 25
11、0-150a=2 430.a=-1.2不合题意,舍去.a的值为2.方法总结本题考查了利润最大化问题,解题的关键根据题目给出的自变量的取值范围,列出对应函数关系式.一般把二次函数关系式配成顶点形式,结合自变量取值范围和抛物线的开口方向解决问题.但要注意:若抛物线顶点横坐标的值不在自变量取值范围内,我们就需要结合函数图象的增减性质求出最值.考法1考法2考法3对应训练2.(2017山东济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30 x60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求
12、w与x之间的函数关系式.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?考法1考法2考法3解:(1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90 x-1 800.w与x的函数关系式为w=-x2+90 x-1 800(30 x60).(2)w=-x2+90 x-1 800=-(x-45)2+225.-142,x2=50不符合题意,应舍去.销售单价应定为40元.考法1考法2考法3考法考法3现实生活中的抛物线现实生活中的抛物线例3
13、(2017浙江金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1 m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.(1)当a=时,求h的值.通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到离点O的水平距离为7 m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.考法1考法2考法3考法1考法2考法3方法总结本题考查了现实生活的抛物线型问题,解这种问题往往先将题目中给出实际意义的量转换成点的坐标,再通过待定系数法求出函数解析式,再通过
14、待求量在函数中表示的意义,利用函数解析式求解.自变量x和函数y对应生活实际意义的理解是解这种问题的突破口.考法1考法2考法3对应训练3.(2017山东德州)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式.(2)求出水柱的最大高度是多少.考法1考法2考法3解:(1)如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由
15、题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0 x3).抛物线过点(0,2)和(3,0),利用二次函数解决实际问题 步骤：1.分析问题，建立模型2设自变量，求函数的解析式3确定自变量的取值范围4根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量取值范围内)实物抛物线 利用二次函数解决实物抛物线形问题，一般是根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后再把求出的结果转化为实际问题的答案【例2】(2014青岛)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的
16、销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？二次函数在销售利润中的应用(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本每件的成本每天的销售量)解：(1)y(x50)505(100 x)(x50)(5x550)5x2800 x27500，y5x2800 x27500(2)y5x2800 x275005(x80)24500，a50，抛物线开口向下
17、，50 x100，对称轴是直线x80，当x80时，y最大值4500(3)当y4000时，5(x80)245004000，解得x170，x290，当70 x90时，每天的销售利润不低于4000元由每天的总成本不超过7000元，得50(5x550)7000，解得x82，82x90，即销售单价应该控制在82元至90元之间 读懂题目，理解题意找出合适的等量关系列函数关系式求出函数的最大值注意：结合图象由利润确定销售单价的范围 二次函数在几何图形中的应用【例3】(2014黄冈)如图，在四边形OABC中，ABOC，BCx轴于C，A(1，1)，B(3，1)，动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度
18、运动过P作PQOA于Q.设P点运动的时间为t秒(0t2)，OPQ与四边形OABC重叠的面积为S.(1)求经过O，A，B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；(2)用含t的代数式表示P，Q两点的坐标；(3)将OPQ绕P点逆时针旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；(4)求S与t的函数解析式；解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围【例4】(2013乌鲁木齐)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下
19、表：同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？一次函数、反比例函数与二次函数的选用(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？解：(1)经描点、连线可知，表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，可求y与x的函数解析式为y0.1x8(2)
20、由题意，得z(x20)y40(x20)(0.1x8)400.1x210 x2000.1(x50)250，当x50时，z最大值50，即z与x的函数解析式为z0.1x210 x200，销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元(3)当z40时，0.1(x50)25040，解得x40或60.又该公司要求净得利润不能低于40万元，40 x60.又还需考虑销售量尽可能大，即y尽可能大，x尽可能小，x40.即销售价格x(元/个)的取值范围是40 x60，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个 (1)建立平面直角坐标系，通过描点，连线等方法观察函数图象的大致形状函数类型；(2)一般式顶点
21、式即可；(3)观察图象销售的价格 真题热身 A 5 4(2014沈阳)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20 x30，且x为整数)出售，可卖出(30 x)件若使利润最大，每件的售价应为_元5(2014咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系由此可以推测最适合这种植物生长的温度为_.2516(2014泰州)某研究所将某种材料加热到1000 时停止加热，并立即将材料分为A，B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A，B两组材料的温度分别为yA，yB，yA，yB与x的函数关系式分别为yAkxb，yB(x60)2m(部分图象如图所示)，当x40时，两组材料的温度相同(1)分别求yA，yB关于x的函数关系式；(2)当A组材料的温度降至120 时，B组材料的温度是多少？(3)在0 x40的什么时刻，两组材料温差最大？请完成本节对应练习
