1、1、-6的平方是，36的平方根是;=2、16的算术平方根是-，5的算术平方根是。3、非负数a的算术平方根是36366645a什么叫做平方根什么叫做平方根?知识回顾知识回顾 一般地，如果一个数的平方等于一般地，如果一个数的平方等于a，那，那么这个数叫做么这个数叫做a的的平方根平方根。什么叫算术平方根什么叫算术平方根?正数的正平方根和零的平方根，统称正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根算术平方根。(0)aa 用表 示.根据图示的直角三角形、正方形的条件，填根据图示的直角三角形、正方形的条件，填空：空：ab(X+2)cm2直角三角形的斜边长是直角三角形的斜边长是 正方形的边长是正方形的边长是S
2、算算一算算:已知等腰直角三角形的面积是 S,怎样用含 S的代数式来表示它的一腰的长?解解 腰长表示为 。S2 注意：一个数的算术平方根也叫做二次根式注意：一个数的算术平方根也叫做二次根式（如（如 ）13,5 a(a0)表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，的算术平方根，像像这样的式子叫做这样的式子叫做 二次根式二次根式。(0).a a 形如的式子叫做二次根式2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3.形式上含有二次根号形式上含有二次根号4.a0,0 a5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根(双重非负性双重非负性
3、)下列各式中哪些是二次根式？下列各式中哪些是二次根式？2222317,6,(0),38,225,1xx y yxyxxa22217,(0),13x y yxya?说一说说一说:下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗?3 32 25 5 (7 7),a a (6 6)，x xy y (5 5)m m-(4 4),1 12 2 (3 3)6 6,(2 2),3 32 2 (1 1)1(m0),(m0),(x,y(x,y 异号异号)在实数范围内在实数范围内,负数没有平方根负数没有平方根10a 算术平方根算术平方根1a?归纳归纳:二次根式中字母的取值范围二次根式中字母的取值范围必须满足被开方数大于等
4、于零必须满足被开方数大于等于零.1、表示什么？是平方根，还是算术平方根？2、的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件,二次根式才有意义？3、中字母a需满足什么条件，才有？10a 1a1a1a1)1(x-1(2)1 2x2(4)(1)x _522.2yxxxy则已知52221)3(xx1.xx1)4(4)3(2 1、x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(3)5(x21)6(x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。小
5、结一下小结一下?当当x=-4时，求二次根式时，求二次根式 的值。的值。1 2x解：将解：将x=-4代入二次根式，得代入二次根式，得1 21 2(4)93x?若二次根式 的值为3，求x的值。221x 解：由题意得:两边同时平方得:22221321942xxxx 454545一艘轮船先向东北方向航行一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西小时，再向西北方向航行北方向航行t小时。船的航速是每时小时。船的航速是每时25千米。千米。1)、用关于、用关于t的代数式表示船离开出发地的距离。的代数式表示船离开出发地的距离。2)、求当、求当t=3时，船离开出发地多少千米。时，船离开出发地多少千米。（精确到（精确到
6、0.01）东东北北 轮船轮船解:(1)设船离出发地的距离为s千米22250(25)2500625stt(2)当t=3时,s=22500625 3812590.14求二次根式的值：求二次根式的值：先根据题意，列出二次根式先根据题意，列出二次根式,然后归结为求代数式的值的问题。然后归结为求代数式的值的问题。小结一下小结一下?1.求式子求式子 有意义时有意义时X的取值范围的取值范围。x51x105|011得5|5551xxxxxxx 解:由题意得,已知已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.a二二?a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(,)?若若a.b为实数为实数,且且求求 的值。的
7、值。|2|2 0ab 2221abb解解:20,a20b 而 220ab 20,a 2 0b 2,2ab 2222原式112 13abab 2.2.已知已知a.ba.b为实数，且满足为实数，且满足 ，你能求出你能求出a a及及a+ba+b 的值吗？的值吗？1.1.若若=0=0，则，则=_=_。3、已知、已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.二二由题意知由题意知a a0 0点点A(A(,)4.4.当当x x分别取下列值时，分别取下列值时，求二次根式求二次根式 的值：的值：(1)x=0(1)x=0 (2)x=1 (2)x=1 (3)x=1 (3)x=142x变式练习变式练习:若二次根式
8、若二次根式 的值为的值为3 3，求求x x的值的值.2x练习练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：求下列二次根式中字母的取值范围：(1)1a 1(2)12a2(3)(3)a x524 2125x xx2356 xx1127 隋堂练习隋堂练习（8）2.物体自由下落时，下落距离物体自由下落时，下落距离h（米）可用公（米）可用公式式 h=5t2来估计来估计,其中其中t（秒）表示物体下落所（秒）表示物体下落所经过的时间经过的时间.（1）把这个公式变形成用）把这个公式变形成用h表示表示t的公式的公式（2）一个物体从）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到落到地
9、面需几秒（精确到0.1 秒）秒）?1、若二次根式、若二次根式 的值为的值为3，求，求x的值的值.2x 一路下来，我们结识了很多新知识，一路下来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。一起来分享。2、二次根式根号内字母的取值范围必须满足、二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方被开方数大于或等于零。数大于或等于零。3、求二次根式的值：、求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。用数值代替二次根式里的字母。1、二次根式的定义：二次根式的定义：像像 ,这样这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫表示的算术平方根，且根号内
10、含有字母的代数式叫做做二次根式。二次根式。按下列程序运算，按下列程序运算，看哪一组完成得快。看哪一组完成得快。带入带入 是否有意义是否有意义输输出出这这个个数数结果代入结果代入 是否有意义是否有意义是是是是结果代入结果代入 是否有意义是否有意义是是结果代入结果代入 是否有意义是否有意义输入一个数输入一个数x否否否否否否否否是是212xx100 x221x2(91)x 2x10200且4xxxx解:由题意得,1.求下列各式有意义时的求下列各式有意义时的X取值范围：取值范围：2x1?2020202xxxx解:由题意得,|31 4xx|301 41 40|30|30或1 401 403或333或11
11、4413或34xxxxxxxxxxxxxx 解:由题意得,322xxyxy2.已知已知，求，求的值的值.?22020222223339xxxxyy解:由题意得,1、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）43x21x1x2222y）（132x130216xx(1)解:由题意得,2(2)0yy可取全体实数(2)解:由题意得,21012xx (3)解:由题意得,43021210430430或2102104132xxxxxxxx (4)解:由题意得,要点、考点聚焦1.二次根式的定义(1)式子 (a0)叫做二次根式.(2)二次根式 中，被开方数必须非负，即a0，据此可以确定被开方数为非
12、负数.(3)公式()2=a(a0).aaa2.积的算术平方根(1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.(2)公式 =(a0，b0).abba 3.二次根式的乘法(1)公式 =.(2)二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运算律在实数范围内仍可使用 abab4.商的算术平方根(1)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(2)公式 （a0,b0）.baba5.二次根式的除法(1)公式.(2)二次根式的除法运算，通过采用化去分母中的根号的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化.baba6.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整
13、数，因式是整式.(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.(3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.7.几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.8.)0 0a a(a a)0 0a a(a a|a a|a a2 2 课前热身1.(20004年宁夏)计算：的结果是 。4 4x x1 1y y 2.若 ，则的取值范围是 。x x2 2)2 2x x(2 2 8 81818 12x2C3.(2004年甘肃)在函数 中，自变量x的取值 范围是 ()A.x 4 B.x 4 C.x 4 D.x 45.(2004年南昌)化简 课前热身6.直接写出下列各题的
14、计算结果：(1)=；(2)；(3)=；(4)(3+)2002(3 )2003=.2 2)2 21 1()9 9()1 16 6(2 22 21 14 45 50 0 1010 101011248 5 55 55 57.在 、中与 是同类二次根式的是 、.50501 12 27 71 175756 61 12 21 12 28.(2004年沈阳)下列各式属于最简二次根式的是()A.B.C.D.9.(1)化简(a-1)的结果是 .(2)当x5时，化简 .(3)(2002年天津市)若1x4时，则 =。3 3y y1 1x x2 2 a a1 11 1 4 4x xx xx x8 81 16 62 2
15、2 22 2)1 1x x()4 4x x(32x-8 课前热身8 82 21 1B10.（2004 陕西）计算：3 31 16 627273 32 21 1 典型例题解析【例1】x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：(1)(2)x2xxxx35)3(;32解:(1)由2-x0 x2，x2时，在实数范围的有意义.(2)由x3时，在实数范围内有意义.(3)由-5x3时，在实数范围内有意义.【例2】计算：(1)(2)3 32 2)2 27 74 44 48 83 3(b ba a1 15 5a ab b5 5a ab ba a1 10 02 2 【例3】求代数式的值.若x2-4x+1=0，求
16、的值.5 5x x1 1x x2 22 2 解:(1)由x2-4x+1=0 x+-4=0 x+=4.原式=【例4】比较根式的大小.13137 714146 6 和和解:1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式化成最简二次根式，再约分.3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.课时训练1.(2004年哈尔滨)函数 中，自 变量x的取值范围是 .3.(2004年河
17、南省)函数 中，自变量x的取值 范围是 .x x5 53 3x x1 1y y 1 1x x2 2x xy y 2.(2004年临汾市)若实数ab，则化简 的结果是 ()A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b2 2)b ba a(4.(2004年西宁市)当m2时，化简：2 2m mm m4 44 4D3x5 课时训练5.(2004年南京市)计算：7.(2004年山西省)观察下列各式：请你将猜想到的规律用含自然数n(n1)的代数式表示出来：12123 32 22 2,4 41 13 34 41 12 2,3 31 12 23 31 11 1 6.(2004年上海市)化简：8 81 14 41 12 21 12 21 18 8345 51 14 45 51 13 3
