1、(2015江苏,7,5分)不等式 4的解集为 .,五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,答案 x|-1x2,解析 不等式 4可转化为 22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x2,解得-1x2,故所 求解集为x|-1x2.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 指数与指数函数,1.(2019课标全国文改编,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 .,答案 acb,解析 本题主要考查指数与指数函数、对数与对数函数等知识点;考查运算求解能力,以及数 形结合思想的应用;考查的核心素养是数学运算. a=log20.220=1,c=0.20.3(0,0.20), 即
2、c(0,1),acb.,方法点拨 指数幂、对数之间比较大小,常借助指数函数、对数函数的图象,利用单调性比较 大小,同时,可以利用0、1等中间量进行比较.,2.(2019课标全国理,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x0时, f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a= .,答案 -3,解析 本题考查函数的表示和奇函数的定义;考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心 素养为逻辑推理和数学运算. 由x0可得-x0时, f(x)=-f(-x)=-ea(-x)=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8, -aln 2=ln 8=3ln 2,a=-3.,一题多解 由f(x)是奇函数可知f
3、(-x)=-f(x),f(ln 2)=-f =-(- )=8,aln =ln 8=3ln 2,a =-3.,3.(2019课标全国理改编,6,5分)若ab,则 . ln(a-b)0;3a0;|a|b|.,答案 ,解析 本题考查不等式的性质及指数函数和对数函数的单调性;通过特值法和综合法考查了 推理论证能力;考查的核心素养为逻辑推理. ab,a-b0,取a-b=1,则ln(a-b)=0.故错误. 由y=3x在R上单调递增可知3a3b,故错误. 由y=x3在R上是增函数可知a3b3,故正确. 取a=0,b=-1,则|a|b|,故错误.,易错警示 容易由ab直接得|a|b|而致错.,4.(2018上
4、海,11,5分)已知常数a0,函数f(x)= 的图象经过点P 、Q .若2p+q=36 pq,则a= .,答案 6,解析 本题主要考查指数式的运算. 由已知条件知f(p)= , f(q)=- ,所以 +,得 =1,整理得2p+q=a2pq,又2p+q=36pq, 36pq=a2pq,又pq0, a2=36,a=6或a=-6,又a0,a=6.,5.(2016课标全国理改编,6,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则以下关系正确的是 . bac;abc;bca;cab.,答案 ,解析 因为a= = ,c=2 = ,函数y= 在(0,+)上单调递增,所以 ,即ac. 又因为函数y=4x在R上单调递增
5、,所以 ,即ba,所以bac.,6.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a0,且a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b= .,答案 -,解析 当a1时, f(x)在-1,0上单调递增,则 无解.当0a1时, f(x)在-1,0上单 调递减,则 解得 a+b=- .,考点二 对数与对数函数,1.(2019上海,6,4分)已知函数f(x)的周期为1,且当 0x1时, f(x)=log2x,则f = .,答案 -1,解析 本题主要考查函数的周期及函数求值问题,以对数函数为依托,考查学生的运算求解能 力. 由已知f(x)的周期为1,当0x1时, f(x)=log2x,得f =f
6、 =log2 =-1.,2.(2019天津文改编,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 .,答案 cba,解析 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考 查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养. 显然c=0.30.2(0,1). 因为log33log24=2,所以a2.故cba.,3.(2019天津理改编,6,5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 .,答案 acb,解析 本题主要通过指数、对数大小比较来考查指数函数与对数函数的图象和性质,考查学 生逻辑推理
7、能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力. 因为a=log52log0.50.5=1,c=0.50.2= ,0.50.21,所以acb.,方法技巧 比较指数、对数的大小,往往借助中间量0,1,注意结合幂函数、指数函数、对数函 数的图象和性质.,4.(2019北京理改编,6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星 等与亮度满足m2-m1= lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天 狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 .,答案 1010.1,解析 本题考查对数与对数函数;考查学生的数据处理能力
8、和应用意识;考查的核心素养是数 学建模和数学运算. 依题意,m1=-26.7,m2=-1.45,所以 lg =-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg =25.25 =10.1,所以 =1 010.1.,审题指导 星等和亮度都可以描述天体的明暗程度,本题需要求的是两个天体的亮度的比值. 题中给出了两个天体的星等及星等与亮度比值的关系,代入数据即可求解.,5.(2018天津理改编,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo ,则a,b,c的大小关系为 .(用 “”连接),答案 cab,解析 本题主要考查对数的大小比较. 由已知得c=log23,log23log2e1,b=ln
9、2ab.,方法总结 比较对数的大小的常用方法: 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数 进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若底 数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,6.(2018课标全国文,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a= .,答案 -7,解析 本题主要考查函数的解析式及对数的运算. f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1, f(3)=log2(9+a)=1, a+9=2,a=-7.,7.(2018课标全国理改编,12,5分)设a=log0.20
10、.3,b=log20.3,则下列正确的是 . a+bab0 aba+b0 a+b0ab ab0a+b,答案 ,解析 本题考查不等式及对数运算. 易知0ab, aba+b0.,方法总结 比较代数式大小的常用方法: (1)作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断 差的正负.变形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法. (2)作商法:即通过判断商与1的大小关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后,必须对 商式分子、分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤. (3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小. (4)特值验证法:对
11、于一些给出取值范围的题目,可采用特值验证法比较大小.,8.(2017天津理改编,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c= g(3),则a,b,c的大小关系为 .(用“”连接),答案 bac,解析 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较. 奇函数f(x)在R上是增函数,当x0时, f(x)f(0)=0,当x1x20时, f(x1)f(x2)0,x1 f(x1)x2 f(x2),g (x)在(0,+)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1).2log25
12、.13,120.82, 由g(x)在(0,+)上单调递增,得g(20.8)g(log25.1)g(3),bac.,解题关键 本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间得 出大小是比较函数值大小的常用方法.,9.(2016浙江,12,6分)已知ab1.若logab+logba= ,ab=ba,则a= ,b= .,答案 4;2,解析 令logab=t,ab1,0t1,由logab+logba= 得,t+ = ,解得t= 或t=2(舍去),即logab= , b= ,又ab=ba, =( )a,即 = ,亦即 = ,解得a=4,b=2.,10.(2016课标全国改编,8
13、,5分)若ab0,0c1,则logca与logcb的大小关系为 .,答案 logcalogcb,解析 0b0,logcalogcb.,11.(2015福建,14,4分)若函数f(x)= (a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取 值范围是 .,答案 (1,2,解析 当x2时, f(x)=-x+6, f(x)在(-,2上为减函数,f(x)4,+).当x2时,若a(0,1),则f(x) =3+logax在(2,+)上为减函数, f(x)(-,3+loga2),显然不满足题意,a1,此时f(x)在(2,+)上 为增函数, f(x)(3+loga2,+),由题意可知(3+loga2,+)4,+),
14、则3+loga24,即loga21,1 a2.,考点一 指数与指数函数,C组 教师专用题组,1.(2013课标全国,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是 .,答案 (-1,+),解析 由2x(x-a)x- , 令f(x)=x- ,即af(x)有解, 则af(x)min,又y=f(x)在(0,+)上递增, 所以f(x)f(0)=-1,所以a-1.,2.(2012课标全国,11,5分)当0x 时,4xlogax,则a的取值范围是 .,答案,解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象得 解得 a1.,考点二 对数与对数函数,1.(2014重庆,12,5分)函数f(x)=lo
15、g2 lo (2x)的最小值为 .,答案 -,解析 显然x0,f(x)=log2 lo (2x)= log2xlog2(4x2)= log2x(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2= - - .当且仅当x= 时,有f(x)min=- .,2.(2013课标全国改编,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则a,b,c的大小关系为 (用 “”连接).,答案 cab,解析 2, log3 log22, 1, cab.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 指数与指数函数,1.(2019七市第二次调研,6)函数y= 的定义域为 .,答
16、案 2,+),解析 由4x-160,得4x16=42,所以x2.,评析 本题考查指数函数的单调性、函数定义域,注意结果必须是集合的形式.是容易题.,2.(2018泰州中学期中,9)已知函数f(x)= 设ab0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围 是 .,答案,解析 作出函数f(x)= 的图象如图, 因为函数f(x)在0,1)和1,+)上都是单调递增函数, 所以若满足ab0,f(a)=f(b), 则必有b0,1),a1,+). 由图可知,使f(a)=f(b)成立的b的取值范围为b ,故f(a) . 所以bf(a) .,3.(2018南通泰州中学高三期初考试,9)已知函数f(x)= 满足
17、对任意x1x2,都有 0成立,则a的取值范围是 .,答案,解析 由对任意x1x2都有 0成立,知f(x)是减函数,于是 所以0 a .,考点二 对数与对数函数,1.(2019海安中学检测,7)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为 .,答案 2,解析 log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2, log2(9x-1-5)=log24(3x-1-2), 9x-1-5=4(3x-1-2),且3x-1-20, 32(x-1)-43x-1+3=0, 3x-1=3或3x-1=1(舍去), x=2.,易错警示 解对数方程、不等式要注意等价变形,防止遗漏对数真数、底数的
18、范围而产生增 根.,2.(2018盐城中学第一次阶段测试,7)已知a=21.2,b= ,c=lo 2,则a,b,c的大小关系为 .(用“”连接),答案 cba,解析 b= =20.8,由指数函数的单调性知21.220.820=1,ab1. 又c=lo 2lo =1,cba.,3.(2018常熟期中,10)若函数f(x)= (a0且a1)的值域为6,+),则实数a的取值范 围是 .,答案 (1,2,解析 当x2时,-x+86恒成立, 要满足函数f(x)的值域为6,+),需有logax+56在(2,+)上恒成立,则 解得1a 2. 故实数a的取值范围为1a2.,评析 本题考查分段函数的值域,分段函
19、数的值域就是每段函数值域的并集,本题从已知入手 得到x2时值域为6,+),这样x2时的值域就是6,+)的子集,其中端点的取舍要注意.,4.(2018如东第一次阶段检测,15)已知函数f(x)=loga(x+1)+loga(3-x)(a0且a1),且f(1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域; (2)若不等式f(x)c恒成立,求实数c的取值范围.,解析 (1)因为f(1)=2,所以2loga2=2,故a=2, 所以f(x)=log2(1+x)+log2(3-x), 要使函数f(x)有意义,需满足 解得-1x3, 所以f(x)的定义域为(-1,3). (2)由(1)知, f(x)=log2(
20、1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x) =log2(-x2+2x+3)=log2-(x-1)2+4, 故当x=1时, f(x)有最大值2, 所以c的取值范围是2,+).,一、填空题(每小题5分,共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：40分钟 分值：55分),1.(2019如皋检测,9)已知f(x)=|log3x|,若a,b满足f(a-1)=f(2b-1),且a2b,则a+b的最小值为 .,答案 +,解析 因为f(a-1)=f(2b-1), 所以|log3(a-1)|=|log3(2b-1)|, 由于a2b,所以log3(a-1)=-log3(2b
21、-1),即a-1= . 由题意得 从而有a+b= +b+1= +b- + + , 当且仅当 =b- ,即b= 时取等号.,2.(2019海安第一学期期中,12)已知函数f(x)=log2 (kR)为奇函数,则不等式f(x)1的解集 为 .,答案 (-,-1)(3,+),解析 f(x)=log2 ,f(-x)=log2 , f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), log2 =-log2 ,即 = , 1-k2x2=1-x2,k2=1,则k=1. 检验:当k=1时, f(x)=log2 ,不符合题意,舍去, k=-1,f(x)=log2 . 由f(x)0得x1或x3或x1, 故不等式f(x)1
22、的解集为(-,-1)(3,+).,3.(2019扬州中学检测,9)已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,且当x(0,+)时, f(x)=| log2x|.若a=f(-3),b=f ,c=f(2),则a,b,c由大到小的顺序是 .,答案 bac,解析 函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称, y=f(x)的图象关于y轴对称,即y=f(x)是偶函数, f(-3)=f(3),且f = =|log24|=f(4), 当x0时, f(x)=|log2x|= f(x)在(1,+)上单调递增,f(2)ac.,思路分析 根据f(x)的对称性和对数的运算性质可知f(-3)=f(3), f
23、=f(4),再根据f(x)在(1,+) 上的单调性比较大小.,4.(2018金陵中学测试,10)已知7p=2,7q=5,则lg 2用p,q表示为 .,答案,解析 7p=2,7q=5,p=log72,q=log75,则lg 2= = = .,思路分析 本题考查对数的换底公式和指数式、对数式的互化,根据条件,将7p=2,7q=5化为以 7为底的对数,再将lg 2化为以7为底的对数,即可得解.,5.(2018南京五校联考,13)已知函数f(x)=x2+ex- (x0)与g(x)=x2+ln(x+a),若函数f(x)图象上存在 点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称,则a的取值范围是 .,答案 (
24、-, ),解析 设点P(x0,y0)(x00),则点P关于y轴的对称点P(-x0,y0)在函数g(x)的图象上, 所以 消去y0,可得 + - =(-x0)2+ln(-x0+a),即 -ln(-x0+a)- =0(x00), 所以 - =ln(-x0+a)(x00), 令m(x)=ex- (x0),n(x)=ln(a-x)(x0),问题转化为函数m(x)与函数n(x)的图象在x0时有交点.在 平面直角坐标系中分别作出函数m(x)与函数n(x)的图象,如图所示.,n(x)=ln(a-x)=ln-(x-a),当n(x)=ln(a-x)的图象过点 时,a= . 由图可知,当a 时,函数m(x)与函数
25、n(x)的图象在x0时有交点. 故a的取值范围为(-, ).,6.(2018镇江期末,14)已知k为常数,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有4个 不同的解,则实数k的取值范围为 .,答案 (-e,-1),解析 当x=0时, =kx+2成立, 故当x0时,方程有三个根, 当x0时,|ln x|=kx+2k= - = 故k= 令k=g(x),当0x1时,g(x)= = , 令g(x)=0,则x= ,g =-e. 当x1时,g(x)= = ,令g(x)=0,则x=e3,g(e3)= . 画出图象可得k(-e,-1) .,7.(2018盐城中学阶段检测,13)若存在xR,使得a3
26、x-4 (a0且a1)成立,则实数a的取值范 围是 .,答案 a2或0a 且a1,解析 对不等式a3x-4 两边取以2为底的对数, 则log2a3x-4log2 , (3x-4)log2ax2-x, 当3x-4=0,即x= 时,0 - = 不成立,故舍去. 当3x-40,即x 时,log2a ,令t=3x-4,则t0,则x= (t+4), = = 1 ,所以log2a1,所以a2. 当3x-40,即x 时,令t=3x-4,则t0,则 = = = ,所以a . 综上,a2或0a 且a1.,解题关键 对存在性问题的理解是解题关键,先转化为(3x-4)log2ax2-x,分离参变量需要讨论 系数的符
27、号,然后注意到x 时,log2a ,x 时,log2a .,8.(2017苏北三市三模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函 数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a1)的图象上,则实数a的值为 .,答案,解析 由题设可得 即 化简可得xB=2,logaxB=2,所以a2=2,故a= (负值舍去).,二、解答题(共15分) 9.(2019苏州期中,18)已知f(x)=ex- 是奇函数. (1)求实数a的值; (2)求函数y=e2x+e-2x-2f(x)在x0,+)上的值域; (3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x3+1)+g
28、(1-3x2)0的解集.,解析 (1)函数的定义域为R,因为f(x)为奇函数, 所以f(0)=0,所以1-a=0,所以a=1. (3分) 当a=1时, f(-x)=e-x- =-ex+ =-f(x), 此时f(x)为奇函数. (4分) (2)令ex- =t(t0),所以e2x+ =t2+2, 所以h(t)=t2-2t+2,对称轴为直线t=. (5分) 当0时,h(t)h(0),+),所求值域为2,+); (7分) 当0时,h(t)h(),+),所求值域为2-2,+). (9分) (3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=ex- 为奇函数, 所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x), 所以g(x)=f(x)-2x为奇函数, 所以g(x3+1)+g(1-3x2)0等价于g(x3+1)g(3x2-1). (10分) 又g(x)=f (x)-2=ex+ -22-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增, 所以x3+13x2-1,即x3-3x2+20, (13分) 即(x-1)(x2-2x-2)0, 所以x1- 或1x1+ . (14分) 所以不等式的解集是(-,1- )(1,1+ ). (15分),
