1、【课标要求课标要求】1.2.8 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质对称性对称性掌握函数的奇偶性的定义和判断方法掌握函数的奇偶性的定义和判断方法理解奇函数和偶函数的图象的特点理解奇函数和偶函数的图象的特点掌握二次函数图象的对称性及二次函数图象的分类掌握二次函数图象的对称性及二次函数图象的分类123奇、偶函数的定义奇、偶函数的定义(1)如果对一切使如果对一切使F(x)有定义的有定义的x，F(x)也有定义，并也有定义，并且且_成立，则称成立，则称F(x)为偶函数；为偶函数；(2)如果对一切使如果对一切使F(x)有定义的有定义的x，F(x)也有定义，并也有定义，并且且_成立，则称成立，则称F(x
2、)为奇函数为奇函数奇、偶函数的图象特征奇、偶函数的图象特征偶函数的图象是以偶函数的图象是以_为对称轴的轴对称图形，奇函数为对称轴的轴对称图形，奇函数的图象是以的图象是以_为对称中心的中心对称图形为对称中心的中心对称图形自学导引自学导引12F(x)F(x)F(x)F(x)y轴轴原点原点缺少一次项的二次函数缺少一次项的二次函数yax2c是偶函数，其图象是以是偶函数，其图象是以_为对称轴的轴对称图形为对称轴的轴对称图形如果函数如果函数F(x)有一条平行于有一条平行于y轴的对称轴，对称轴和轴的对称轴，对称轴和x轴交轴交点的坐标是点的坐标是(s，0)，则对任意的，则对任意的h，有，有_反之亦然反之亦然4
3、y轴轴F(sh)F(sh)轴轴六六x轴轴(x0，0)上上恒正恒正(3)如如0，图象和，图象和x轴交于两点轴交于两点(x1，0)和和(x2，0)，这里，这里x1x2，是方程，是方程_的两个不等实根对应于的两个不等实根对应于x_，图象在，图象在x轴下方，当轴下方，当x在在_之外时，图之外时，图象在象在x轴上方轴上方ax2bxc0(x1，x2)x1，x2 判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区轴上所示的区间是否关于原点对称呢？间是否关于原点对称呢？提示由定义知，若提示由定义知，若x是定义域内的一个元素，是定义域内的一个元素，x也一定也一定是定义域内的一
4、个元素，所以函数是定义域内的一个元素，所以函数yf(x)具有奇偶性的具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于轴上所示的区间关于原点对称即：如果所给函数的定义域在原点对称即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性例间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性例如：函数如：函数f(x)x3在在R上是奇函数，但在上是奇函数，但在 2，1 上既不上既不是奇函数也不是偶函数是奇函数也不是偶函数自主探究自主探究1有没有既是奇函数又是偶函数的函数？有没有既是奇函数又是偶函数的函数？提示有如提示有如f(x
5、)0，x(5，5)2解析结合图象知选项为解析结合图象知选项为D.答案答案D预习测评预习测评二次函数二次函数yx26xk的图象的顶点在的图象的顶点在x轴上，则轴上，则k的值的值为为 ()A9 B9 C3 D3解析解析y(x3)2k9，k90，k9.答案答案A设函数设函数f(x)(x1)()(xa)为偶函数，则为偶函数，则a_答案答案123若函数若函数yx2(a2)x3，x a，b 的图象关于直线的图象关于直线x1对称，则对称，则b_答案答案64定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的，则立即可定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域判断
6、该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断是关于原点对称的，再判断f(x)f(x)之一是否成之一是否成立立名师点睛名师点睛1判断函数奇偶性的常用方法判断函数奇偶性的常用方法图象法：奇图象法：奇(偶偶)函数等价于它的图象关于原点函数等价于它的图象关于原点(y轴轴)对称对称性质法：利用性质来判断，即利用奇、偶函数的和、差、性质法：利用性质来判断，即利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性来判断即：积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性来判断即：(1)在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商(分母不为分母不为零零)仍为
7、偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶偶)数个数个奇函数的积、商奇函数的积、商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶偶)函数；一个奇函数与函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数一个偶函数的积为奇函数(2)对于复合函数对于复合函数F(x)f g(x)：若：若g(x)为偶函数，则为偶函数，则F(x)为偶函数；若为偶函数；若g(x)为奇函数，为奇函数，f(x)为奇函数，则为奇函数，则F(x)为奇函为奇函数；若数；若g(x)为奇函数，为奇函数，f(x)为偶函数，则为偶函数，则F(x)为偶函数为偶函数34警示在判断函数的奇偶性时，容易忽视函数的定义域是警示在判断
8、函数的奇偶性时，容易忽视函数的定义域是否关于原点对称这一前提条件，从而导致做无用功否关于原点对称这一前提条件，从而导致做无用功(即浪即浪费时间和精力，又判断失误而出错费时间和精力，又判断失误而出错)已知已知f(x)为为R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)2x23x1.(1)求求f(x)的解析式；的解析式；(2)作出函数作出函数f(x)的图象的图象解解(1)设设x0，由已知有由已知有f(x)2(x)23(x)12x23x1.所以所以f(x)2x23x1.又又f(0)0，题型一题型一函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用【例例1】典例剖析典例剖析点评利用奇、偶函数图象的对称性，可以画出图象
9、点评利用奇、偶函数图象的对称性，可以画出图象的另一半，从而可以减少工作量本题容易将的另一半，从而可以减少工作量本题容易将f(0)0遗漏掉遗漏掉【变式变式1】即即f(x)f(x)，f(x)是偶函数是偶函数(3)由题易知函数由题易知函数f(x)的定义域的定义域 x|x0，关于原点对称，关于原点对称，当当x0时，时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)当当x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇函数为奇函数点评点评(1)判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、关于原
10、点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再与整理，再与f(x)比较得出结论比较得出结论(2)分段函数的奇偶性应分段证明分段函数的奇偶性应分段证明f(x)与与f(x)的关系，只的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性性.已知二次函数已知二次函数f(x)同时满足下列条件：同时满足下列条件：f(1x)f(1x)；f(x)的最大值为的最大值为15；f(x)0的的两根的立方和等于两根的立方和等于17.求求f(x)的解析式的解析式题型题型二二二次函数的对称性二次函数的对称性【例例2】点评二次函数图象的对称性非常重要，只要知道了对
11、称点评二次函数图象的对称性非常重要，只要知道了对称轴，单调性和最值就非常简单对称性还可以推广到一般轴，单调性和最值就非常简单对称性还可以推广到一般函数：已知函数函数：已知函数f(x)，则，则f(x)关于关于xa对称的充要条件是对称的充要条件是f(ax)f(ax)，还可以变形为，还可以变形为f(x)f(2ax)【变式变式2】已知一个二次函数已知一个二次函数yax2bxc，当，当x1时，函数有时，函数有最小值最小值1，方程，方程ax2bxc0的两根的两根，满足满足224，求这个二次函数的解析式，求这个二次函数的解析式 题型题型三三综合问题综合问题【例例3】点评从本题中可以看出，二次函数与一元二次方
12、程之间点评从本题中可以看出，二次函数与一元二次方程之间有着密切的关系，一元二次方程有着密切的关系，一元二次方程ax2bxc0就是二次就是二次函数函数yax2bxc当当y0时的情形时的情形不等式不等式(a2)x22(a2)x40对一切对一切xR恒成恒成立，求立，求a的取值范围的取值范围解法一解法一(1)当当a2时，时，f(x)40恒成立；恒成立；(2)当当a2时，时，f(x)(a2)x22(a2)x40对一切对一切xR恒成立，恒成立，f(x)有最大值且最大值为负，即有最大值且最大值为负，即【变式变式3】由由(1)()(2)知，知，a的取值范围是的取值范围是(2，2 法二当法二当a2时，不等式显然
13、成立时，不等式显然成立当当a2时，若不等式成立，时，若不等式成立，即即f(x)(a2)x22(a2)x40对对xR恒成立，恒成立，必有必有a20，且，且4(a2)24(a2)40，解得解得2a2.综上得综上得2a2.a的取值范围是的取值范围是(2，2 误区警示误区警示判断函数奇偶性时，因忽略定义域而出错判断函数奇偶性时，因忽略定义域而出错【例例4】错因分析错解中没有判断函数错因分析错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性点对称，而直接应用定义判断奇偶性 正解正解 函数函数f(x)的定义域为的定义域为 x|1x1，不关于原点，不关于原点对称，
14、故此函数既不是奇函数又不是偶函数对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数纠错心得判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义纠错心得判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论域发生变化，得到错误结论在奇函数与偶函数的定义域中，都要求在奇函数与偶函数的定义域中，都要求xD，xD，这就，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或作为偶函数的不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或作为偶函数的条件条件解题中可以灵活运用解题中可以灵活运用f(x)f(x)0对奇偶性作出判断对奇偶性作出判断奇函数奇函数f(x)若在若在x0处有意义，则必有处有意义，则必有f(0)0.奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性课堂总结课堂总结1234
