1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何3.2.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法mlab复复 习习a aAC axAByAD uv u u 例例1、四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，形，PD底面底面ABCD，PD=DC=6，E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：求证：AE/FG.ABCDPGXYZFEA(6，0，0)，F(2，2，0)，E(3，3，3)，G(0，4，2)，AE=(-3,3,3),FG=(-2,2,2)AE=(-3,3,3),FG=(-2,2,2)32 AE=FGAE=FGAE/FG证证：如图所示，：如
2、图所示，建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系./AEFGAEFGAE与与FG不共线不共线几何法呢？几何法呢？例例2、四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的中点，中点，(1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDPEXYZG解解1 立体几何法立体几何法ABCDPEXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC，AC交交BD于点于点G，连结，连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依依题题意意
3、得得G1 11 1(,，(,，0)0)2 22 211(1,0,1),(,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDPEXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依依题题意意得得B(1,1，B(1,1，0)0)(1,0,1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为(
4、,1)nx y,nnDEDB 则1101,1,1220ynxy于是0PA nPAn ABCDPEXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依依题题意意得得B(1,1，B(1,1，0)0)(1,0,1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x2 2，y y1 12PADEDB 即PADEDB 于是、共面ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面例例3、如图，已知矩形、如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于AD，点，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：2133DCDE MNMDDEEN 证明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面几何法呢？几何法呢？(1)lm0aba b 垂直关系：垂直关系：lmab垂直关系：垂直关系：(2)l /auau lauABCaa AB,AB,ACAC垂直关系：垂直关系：3（）0uvu v u v
