1、2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末模拟测试卷【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数，是z的共轭复数，则的虚部为( )A.2B.C.-2D.2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为，现按型号用分层随机抽样的方法随机抽取容量为n的样本.若抽到24件乙型号产品，则n等于( )A.80B.70C.60D.503.已知向量，且，则( )A.9B.3C.D.4.史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐
2、王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为( )A.B.C.D.5.在正方体中，E是的中点.若，则点B到平面ACE的距离等于( )A.B.C.D.36.在中，内角A，B，C所对的边分別是a，b，c.若，则的面积是( )A.3B.C.D.7.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：样本数据落在区间的频率为0.45；如果规定年收入在500万元以内的企业才能
3、享受减免税政策，估计有的当地中小型企业能享受到减免税政策；估计样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.38.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.若复数z满足，则( )A.B.C.在复平面内对应的点在直线上D.的虚部为-810.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中
4、点值作代表，则下列说法中正确的是( )A.成绩在内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分11.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，内角A的平分线交BC于点D，以下结论正确的是( )A.B.C.D.的面积为12.如图，E为正方形ABCD边CD上异于C，D的动点，将沿AE翻折成，在翻折过程中，下列说法正确的是( )A.存在点E和某一翻折位置，使得B.存在点E和某一翻折位置，使得平面SBCC.存在点E和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABC所成的角为45D.存在点E和某一翻折位置，使得二面角的大小为60三、填空
5、题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为_.14.如图，S为等边三角形ABC所在平面外一点，且，E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与AC所成的角为_.15.如图，在四边形ABCD中，且，则实数的值为_；若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_.16.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.性别男73125304女82926328学段初中
6、25364411高中下面有四个推断：这200名学生阅读量的平均数可能是26本；这200名学生阅读量的分位数在区间内；这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间内；这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.所有合理推断的序号是_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知，.（1）当时，求实数x的值；（2）当取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值.18.（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且的面积为.（1）求a的值；（2）若D为BC上一点，且_，求的值.从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
7、19.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，为等边三角形，且，O，M分别为AB，VA的中点.（1）求证：平面MOC；（2）求三棱锥的体积.20.（12分）小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.21.（12分）张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了n人，问题是“大佛寺是几A级旅游景点？”统计结果如图表.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组a0
8、.5第2组18x第3组b0.9第4组90.36第5组3y(1)分别求出a，b，x，y的值.(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人.22.（12分）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M，N分别为BC，的中点，P为AM上一点.过和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：，且平面平面；（2）设O为的中心.若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.答案以及解析1.答案：C解析：由题意得，的虚部为-2.故选C.2.答案：A解析：因为，所以.故选A.3.答案：C解析：，解得，则.故选C.4.答案：A解析：记田忌的上等马、中等马、下等马分
9、别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C.由题意可知，所有的基本事件有aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件有aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率.故选A.5.答案：B解析：在正方体中，E是的中点，则，.设点B到平面ACE的距离为h，由，得，解得.故选B.6.答案：C解析：由，可得.由及余弦定理可知，.故选C.7.答案：D解析：由，得，所以数据在区间的频率为，正确；数据在区间的频率为，正确；数据在区间的频率为0.3，数据在区间的频率为0.55，故估计中位数为，正确.8.答案：D解析：如图，是等腰直角三角形，为截面圆的直
10、径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，解得.连接OC，设外接球的半径为R，则，在中，由勾股定理得，解得.三棱锥的外接球的体积，故选D.9.答案：BCD解析：设，则，由得，整理得，所以解得，则，所以，A错误；，则，B正确；在复平面内对应的点为，显然在直线上，C正确；，所以的虚部为-8，D正确.故选BCD.10.答案：ABC解析：由频率分布直方图可得，成绩在内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在内的频率为，因此不及格的人数为，故B正确；C选项，由频率分布直方
11、图可得，平均分约为（分），故C正确；因为成绩在内的频率为，在内的频率为0.3，所以中位数为，故D错误.故选ABC.11.答案：ACD解析：在中，根据余弦定理得，即，所以.由二倍角公式得，解得.在中，故选项A正确；在中，解得，故选项B错误；，解得，故选项C正确；在中，由得，所以，故选项D正确.故选ACD.12.答案：ACD解析：当时，因为，所以平面SAB，故，故A正确；四边形ABCE为梯形，所以AE与BC必然相交，故B错误；如图（1）所示，交BC于点F，交AE于点G，连接SG，则图（2）中，S在平面ABCE的射影O在GF上，连接BO，SO，故为直线SB与平面ABC所成的角，设二面角的平面角为，取
12、，故，要使直线SB与平面ABC所成的角为45，只需，在中，由余弦定理得，解得，经验证，满足题意，故C正确；过点O作交AB于M，连接SM，因为，所以平面SOM，则为二面角的平面角，取二面角的平面角为60，要使二面角的大小为60，只需，连接OA.因为，所以，设，则，化简得，解得，经验证，满足题意，故D正确.故选ACD.13.答案：解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为.14.答案：45解析：如图，取AS的中点G，连接GE，GF，则，为异面直线EF与AC所成的角（或补角）.设，则，.取AC的中点M，连接MS，MB.，
13、为等边三角形，平面BMS，.15.答案：；解析：方法一：由题意，所以.又，所以.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题可得，不妨设，则，所以，所以当时，取最小值为.方法二：过点D作于点E，则，.又因为，所以.在中，所以，.设，则，所以当时，取最小值为.16.答案：解析：在中，阅读量在的人数有人，在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的分位数在区间内，故正确；在中，设在区间内的初中生人数为x，则，当时，初中生总人数为人，此时区间内有25人，区间内有36人，所以中位数在内，当时，初中生总人数为人，区间内有人，区间内有36人，所以中位数在内，所以当区间
14、内人数取最小和最大值时，中位数都在内，所在这200名学生的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；在中，设在区间内的初中生人数为x，则，当时，初中生总人数为116人，此时区间有25人，区间有36人，所以分位数在内，当时，初中生总人数为131人，区间有人，所以分位数在内，所以这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内，故正确.17.答案：（1）（2）解析：（1），解得.（2）.当时，有最小值1，即有最小值1.此时，.，设向量a，c的夹角为，则.18.答案：（1）（2）见解析解析：（1）因为，所以，由余弦定理得，解得.（2）当时，在中，由正弦定理，即，所以.因为，所以，所以，所以.当时，
15、在中，由余弦定理知，.因为，所以，所以，所以，所以.19.答案：（1）见解析（2）解析：（1）因为O，M分别是AB，VA的中点，所以.因为平面MOC，平面MOC，所以平面MOC.（2）因为，O为AB的中点，所以.因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，所以平面VAB.在等腰直角三角形ABC中，所以，所以等边三角形VAB的面积，所以.所以三棱锥的体积为.20.答案：(1)概率为0.398.(2)概率为0.994.解析：(1)用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则，所以.由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为.21.
16、答案：(1).(2)第2组2人，第3组3人，第4组1人.解析：(1)由频率分布表中第4组数据可知，第4组总人数为，结合频率分布直方图可知.所以.，.(2)因为第2，3，4组回答正确的共有54人，所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：；第3组：；第4组：.22.答案：（1）见解析（2）解析：（1）因为M，N分别为BC，的中点，所以.又由已知得，故.因为是正三角形，所以.又，故平面.所以平面平面.（2）连接NP.因为平面，平面平面，所以.又三棱柱上下底面平行，平面平面，平面平面，所以，故四边形ONPA是平行四边形.因为O为的中心，所以，所以.由（1）知直线在平面内的射影为PN，直线与平面所成角即为等腰梯形中与PN所成角.在等腰梯形中，令，过E作于H，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.
