1、第四章第四章 因式分解因式分解1.1.理解理解平方差平方差公式的意义。公式的意义。2.2.会用会用平方差平方差公式因式分解。公式因式分解。1.知识回顾知识回顾:把一个把一个多项式多项式写成几个写成几个整式整式的的积积的形式叫的形式叫做做因式分解因式分解.2.练一练练一练 12xyz-9x2y2+3xy-2x2-12xy2+8xy3 已知已知a+b=6,ab=7,求求a2b+ab2的值的值.()xyy-+)yx x-=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2 (1)什么叫因式分解什么叫因式分解?=3xy(7z-3xy+1)=-(2x2+12xy2-8xy3)=-2x(x+6
2、y-4y2)解：a+b=6,ab=7 a2b+ab2=ab(a+b)=76=423.平方差平方差:在括号里填上适当的式子在括号里填上适当的式子,使等号成立使等号成立:(1)(x+5)(x-5)=()(2)(a+b)(a-b)=()(3)x2-25=(x+5)()(4)a2-b2=(a+b)()x2-25a2-b2x-5a-b问题一问题一:第第(1)、(2)两式从左到右是什么变形两式从左到右是什么变形?问题二问题二:第第(3)、(4)两式从左到右是什么变形两式从左到右是什么变形?平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)可以看出,我们将多项式a2-b2写成(a+b)(a-b)的形式,这种分解因式
3、的方法称为公式法.问题三:请说说平方差公式有什么特点?等式的左边是多项式,有2项,为两个数的平方差.等式的右边是两个数的和与两个数的差的积.平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a-b=(a+b)(a-b)因式分解平方差公式a-b=(a+b)(a-b)整式乘法a 如图（1），在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下部分剪拼成一个矩形（如图（2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证一个等式。abb你知道吗？由图可得：=.a-b(a+b)(a-b)bba平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)平方差公式的项、指数、符号的特点：左边是右边是每项
4、都是平方的形式两项的符号相反一个因式是两数的和另一个因式是这两个数的差在乘法公式中，“平方差”是计算结果；在因式分解中，“平方差”是要分解的多项式。二项式两个多项式的积小结：用平方差公式分解因式时公式的项、指数、符号有什么特点？()()x216（1）x2-16 解:(1)（2）9m2-4n2 x x()()a2b2aabb()()x2 4242x2(2)9m2-4n2 3m 3m()()a2aabb(3m)2 (2n)2(2n)2(3m)2b22n 2n引例：对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式22)(49.0b26)(81n 填填 空：空：22)(25m22)(169c22)(4x22)
5、(36a222)(64yx224)(100qp39nc438xy2x5m6a0.7bqp210利用平方差公式把下列各式分解因式 口答口答42-x21a-29y-224yx-2294yx-236m-224925qp-1362-n2291xa-221681.0ba-判断)(22yxyxyx-+（）)4)(4(422yxyxyx-+-（）例例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）16a-1 (2)4x-mn (3)x -y 925116(4)9x+4m2解：1）16a-1=(4a)-1 =(4a+1)(4a-1)解：解：2）4x-mn =(2x)-(mn)=（2x+mn)(2x-mn)（5）
6、x2y4-9原式原式=(xy=(xy2 2)2 2-3-32 2=(xy2+3)(xy2-3)解解:3)原式原式=)4153)(4153(yxyx-+解解:4)原式原式=(2m+3x)(2m-3x)下列多项式可否用平方差公式分解下列多项式可否用平方差公式分解因式，如果可以应分解成什么式因式，如果可以应分解成什么式子？如果不可以请说明理由。子？如果不可以请说明理由。x2+1 x2+y2 0.9x2y2 916y2 4(x+y)2+(xy)2例例2 2.把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)9(a+b)(1)9(a+b)2 2-4(a-b)-4(a-b)2 2(2)x(2)x4 4-16-1
7、6解解(1)(1)原式原式=3(a+b)3(a+b)2 2-2(a-b)-2(a-b)2 2 3(a+b)-2(a-b)3(a+b)-2(a-b)=(5a+b)(a+5b)=(5a+b)(a+5b)=3(a+b)+2(a-b)=3(a+b)+2(a-b)整体的思想整体的思想解解:(2):(2)原式原式=(x=(x2 2)2 2-4-42 2 =(x=(x2 2+4)(x+4)(x2 2-4)-4)=(x =(x2 2+4)(x+2)(x-2)+4)(x+2)(x-2)因式分解因式分解:分解到不能分解为止分解到不能分解为止.(1)还原成平方差的形式.(2)运用公式写成两数和与两数差的积的形式.(
8、3)分别在括号内合并同类项.(4)各因式分解到不能再分解为止.运用平方差公式因式分解的一般步骤：运用平方差公式因式分解的一般步骤：9(a+b)2-4(a-b)2解：原式=3(a+b)2-2(a-b)2=3(a+b)+2(a-b)3(a+b)-2(a-b)=(5a+b)(a+5b)例例3 分解因式分解因式:xx823-=2x(x+2)(x-2)解：原式解：原式=2x(x2-4)当多项式的各当多项式的各项有公因式时项有公因式时,通常先提出这通常先提出这个公因式个公因式,然后然后进行因式分解进行因式分解(1)分解要彻底！分解要彻底！首先提取公因式，首先提取公因式，然后考虑用公式，然后考虑用公式，最终
9、必是连乘式。最终必是连乘式。提示：提示：例例4.把下列各式因式分解把下列各式因式分解1)(x+z)-(y+z)2)4(a+b)-25(a-c)3)4a-4a4)(x+y+z)-(x y z)5)2x3-8x解：解：1.原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z)=(x+y+2z)(x-y)解：解：2.原式原式=2(a+b)-5(a-c)=2(a+b)+5(a-c)2(a+b)-5(a-c)=(7a+2b-5c)(2b-3a+5c)解：解：3.原式原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：解：4.原式原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)-(x-y-z)=2 x(2
10、 y+2 z)=4 x(y+z)2)(2(2)4(22-+-xxxxx5)原式原式=运用平方差公式分解因式的特点：左边应是一个二项（如：）2251b-二项式的每项（不含符号）都是一个平方的形式。二项是异号（如：）22425yx-符合上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式。1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。2.公式 a-b=(a+b)(a-b)中的字母 a,b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类
11、项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。注意点：4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行便，故应善于运用此法，进行简便计算简便计算。5.在因式分解时，若多项式中有公因式，在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提应先提取公因式，再考虑运用平方差公式分解因式。取公因式，再考虑运用平方差公式分解因式。一般地，如果一个多项可以转化为一般地，如果一个多项可以转化为a2-b2的形的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。如分解因式。如(1)4(a+b)-25(a-c)2x2x3 3-8x=2x(
12、x-8x=2x(x2 2-4)-4)=2x(x+2)(x-2)=2x(x+2)(x-2)如：如：把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)9(a+b)(1)9(a+b)2 2-25(a-b)-25(a-b)2 2(2)x(2)x5 5-81x-81x解解(1)(1)原式原式=3(a+b)3(a+b)2 2-5(a-b)-5(a-b)2 2 3(a+b)-5(a-b)3(a+b)-5(a-b)=(8a-2b)(-2a+8b)=(8a-2b)(-2a+8b)=3(a+b)+5(a-b)=3(a+b)+5(a-b)(2)(2)原式原式=x(x=x(x4 4-81)-81)因式分解因式分解:分解到不
13、能分解为止分解到不能分解为止.=4(4a-b)(4b-a)=4(4a-b)(4b-a)=x(x=x(x2 2+9)(x+9)(x2 2-9)-9)=x(x=x(x2 2+9)(x+3)(x-3)+9)(x+3)(x-3)=x(x=x(x2 2)2 2-9-92 2 或或=-4(4a-b)(a-4b)4(4a-b)(a-4b)谈谈你的收获！谈谈你的收获！这节课你又学到这节课你又学到了什么知识？了什么知识？1.具有两数（或两式）平方差形式的多项式可运用平方差公式分解因式。2.公式a-b=(a+b)(a-b)中的字母 a,b可以是数，也可以是单项式或多项式，要灵活运用。3.若多项式中有公因式，应先提
14、取公因式，然后再进一步分解因式。4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止。小结：平方差公式的应用题平方差公式的应用题：1、利用分解因式简便计算(1)652-642 (2)5.42-4.62(3)(4)22)412()435(-222248252100-解:652-642=(65+64)(65-64)=1291=129 解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6)=100.8 =8答案:5答案:28巩固练习：巩固练习：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A.4X+y B.4 x-(-y)C
15、.-4 X-y D.-X+y2)-4a+1分解因式的结果应是分解因式的结果应是（）A.-(4a+1)(4a-1)B.-(2a 1)(2a 1)C.-(2a +1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)DD3.x2-64因式分解为因式分解为().(A)(x-16)(x+4);(B)(x-32)(x+32);(C)(x+16)(x-4);(D)(x-8)(x+8).4.64a8-b2因式分解为因式分解为().(A)(64a4-b)(a4+b);(B)(16a2-b)(4a2+b);(C)(8a4-b)(8a4+b);(D)(8a2-b)(8a4+b).DC2.把下列各式分解因式：把下列各式分解
16、因式：1）18-2b 2)x4 1 1)原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b)2)原式=(x+1)(x+1)(x-1)练一练练一练:1,把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)36-x2 (2)a2-9b2 (3)x2-16y2 (4)x2y2-z2 (5)(x+2)2-9 (6)(x+a)2-(y-b)2 (7)9a4-(b-c)2 (8)(x+y+z)2-(x+y-z)2 (9)4(a+2)2-9(a-1)2 (10)a4-81b4 2 2、如图，求圆环形绿化区的面积、如图，求圆环形绿化区的面积.35m35m15m15m解：解：35352 2 -15 -152 2 =(35 =(
17、352 2-15-152 2)=(35+15)(35-15)=(35+15)(35-15)=50 =502020 =1000 (m =1000 (m2 2)这个绿化区的面积是这个绿化区的面积是1000 m1000 m2 23,知识的灵活运用知识的灵活运用.(1),已知已知a+b=3,a-b=2,求求a2-b2的值的值.(2),已知已知4m+n=90,2m-3n=10,求求(m+2n)2-(3m-n)2的值的值.(3)利用因式分解简便计算利用因式分解简便计算.5352-4652 91.22-161.423、把下列各式分解因式(1)(2)36-m2(3)-9y2+4x2 (4)0.81a2-16b
18、2(5)(2a+b)2-(a-2b)2 (6)x3-x2912xa-(7)4a2-(b+c)2 (8)-x4+16(9)(a+b-c)2-(a-b+c)2 (10)16(a-b)2-9(a+b)2提高题提高题：2、已知 ,求（a+b）2-(a-b)2的值。7522a4425b解:(a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b)=2a2b =4ab当 ，时，原式=4 =7522a4425b75224425323、计算、计算22221111(1)(1).(1)(1)23910-若若n是整数是整数,证明证明(2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数的倍数.创新与应用创新与应
19、用已知已知,x+y=7,x-y=5,求代求代数式数式 x 2-y2-2y+2x 的值的值.用平方差公式进行简便计算用平方差公式进行简便计算:1)38-37 2)213-873)229-171 4)9189解：1）38-37=（38+37）（38-37）=752)213-87=(213+87)(213-87)=300126=37800解解:3)229-171=(229+171)(229-171)=40058=23200解解:4)9189 =(90+1)(90-1)=90-1 =8100-1 =8099分解因式分解因式:(1)-9x2+4y2 (2)64x2-y2z2(3)a2(a+2b)2-4(x+y)2 (4)(a+bx)2-1(5)(x-y+z)2-(2x-3y+4z)2课堂作业课堂作业(6)a3b-ab3(7)x2(a-1)+4(1-a)（8）(a+b)(a-b)-2(a2-5b2)寄语 亲：亲：只有不断的思考只有不断的思考,才会有新的发现才会有新的发现;只有只有量的变化量的变化,才会有质的才会有质的进步进步.祝大家学有所得祝大家学有所得!
