1、第一节变化率与导数、导数的计算,总纲目录,教材研读,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数,3.函数f(x)的导函数,4.基本初等函数的导数公式,5.导数的运算法则,考点突破,考点二导数的几何意义,考点一导数的运算,考点三两条曲线的公切线,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为?,若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为?.,教材研读,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率?=?为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f
2、(x0)或y?,即f (x0)=?=?.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0, f(x0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0).,3.函数f(x)的导函数称函数f (x)=?为f(x)的导函数,导函数有时也记作y.,4.基本初等函数的导数公式,5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=?f (x)g(x);(2)f(x)g(x)=?f (x)g(x)+f(x)g(x);(3)?=?(g(x)0).,1.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+?(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度
3、为?()A.?B.?C.?D.,答案D由题意知,机器人的速度方程为v(t)=s(t)=2t-?,故当t=2时,机器人的瞬时速度为v(2)=22-?=?.,B,2.函数y=xcos x-sin x的导数为?()A.xsin xB.-xsin xC.xcos xD.-xcos x,答案By=xcos x+x(cos x)-(sin x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.,B,3.函数y=f(x)的图象如图,则导函数f (x)的大致图象为?(),答案B由导数的几何意义可知, f (x)为常数,且f (x)0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.,(1,1),答案(1,1),解析
4、函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=?的导函数为y=-?,曲线y=?(x0)在点P处的切线的斜率k2=-?,由题意有k1k2=-1,即1?=-1,解得?=1,又x00,x0=1.点P在曲线y=?(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).,命题方向三求参数值典例4已知直线y=?x+b与曲线y=-?x+ln x相切,则b的值为?()A.2B.-1C.-?D.1,B,答案B,解析设切点为P(x0,y0),由y=-?x+ln x,得y=-?+?.所以y?=-?+?,依题意,-?+?=?,所以x0=1,则P?
5、,又切点P?在直线y=?x+b上,所以-?=?+b,得b=-1.,命题方向四判定函数的图象典例5如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x0),过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为下图中的?(),D,答案D,解析函数的定义域为0,+),当x0,2时,S=f(x)是随着x的增大而增大的,且增长速度越来越快,即函数S=f(x)在0,2上随着x的增大,图象上切线的斜率逐渐增大.当x2,3时,S=f(x)也是随着x的增大而增大的,但增长速度越来越慢,即函数S=f(x)在2,3上随着x的增大,图象上切线的斜率逐渐减小.当x3,+)时,面积S没有变
6、化.,2-1(2017广东广州综合测试(一)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为?()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1),D,答案D由f(x)=x3+ax2得f (x)=3x2+2ax,记y0=f(x0),由题意可得?由可得?+a?=-x0,即x0(?+ax0+1)=0.由可得3?+2ax0+1=0.由可得x00,所以式可化为?+ax0+1=0.由可得x0=1,代入式得?或?即点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).故选D.,2-2已知函数f(x)=(x2+ax-1)ex(其
7、中e是自然对数的底数,aR),若f(x)在(0, f(0)处的切线与直线x+y-1=0垂直,则a=?()A.1B.-1C.2D.-2,答案Cf (x)=(x2+ax-1)ex+(x2+ax-1)(ex)=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex=x2+(a+2)x+(a-1)ex,故f (0)=02+(a+2)0+(a-1)e0=a-1.因为f(x)在(0, f(0)处的切线与直线x+y-1=0垂直,故f (0)=1,即a-1=1,解得a=2.,C,2-3函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是?(),答案D由y=f (x)的图象知y=f
8、(x)在(0,+)上单调递减,所以函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+)上也单调递减,故排除A、C.又由图象知y=f (x)与y=g(x)的图象在x=x0处相交,所以y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故排除B.,典例6(2015课标全国,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.,考点三两条曲线的公切线,8,答案8,解析令f(x)=x+ln x,求导得f (x)=1+?, f (1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y?=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-?,又a?+(a+2)x0+1=2x0-1,即a?+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,x0=-?,此时a=8.,方法技巧求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解.(2)利用公切线得出关系式.设公式线l在y=f(x)上的切点P1(x1,y1),在y=g(x)上的切点P2(x2,y2),则f (x1)=g(x2)=?.,同类练曲线f(x)=ax-?在x=2处的切
