1、2020届高三上学期期末教学质量检测卷数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4测试范围：高中全部内容.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求解不等式确定集合A,
2、B，然后进行交集运算即可.【详解】求解不等式可得：，求解不等式可得，结合交集的定义可知.故选A.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，不等式的解法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知为虚数单位，复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算，可得，即可求解，得到答案【详解】由题意，复数，得，所以，故选B【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3.命题“”的否定是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式书写.【
3、详解】命题“”的否定是，.故选C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.4.已知向量（1，2），（2，2），（m，1）若（2），则m（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】可以求出，根据即可得出2m40，解出m2【详解】，2m40，m2故选C【点睛】考查向量坐标的加法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系5.二项式的展开式中项的系数为10，则（）A. 8B. 6C. 5D. 10【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数为3，即可求出的值【详解】由二项式的展开式的通项得：令 ，得，则 ，所以，解得，故选C【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展
4、开式的通项公式，属于基础题6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指对函数的单调性，借助中间量比较大小.【详解】，所以，故选A.【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小7.已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】圆关于直线对称即说明直线圆心，即可求出，即可有中点弦
5、求出弦长【详解】依题意可知直线过圆心，即，故圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为故选D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题8.用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱内接于球的直观图，设底面边长，由球的体积公式得，再由勾股定理得正三棱柱的，代入体积公式，利用基本不等式可求得【详解】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为设底面边长，则，等号成立当且仅当，故选D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的
6、最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A. 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B. 某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C. 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D. 在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位【答案】
7、CD【解析】【分析】对A,根据分层抽样的意义辨析即可.对B,根据概率的含义辨析即可.对C,根据回归模型的性质辨析即可.对D,根据线性回归方程的实际意义分析即可.【详解】对A,分层抽样为根据样本特征按比例抽取,从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测不满足.故A错误.对B, 降水概率为,但仍然有的概率不下雨,故B错误.对C, 在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好正确.对D, 回归直线方程中的系数为0.1,故当解释变量每增加1个单位时,预报变量增加0.1个单位正确.故选：CD【点睛】本题主要考查了概率统计中分层抽样、概率与回归直线的基本概念
8、与性质.属于基础题.10.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论可能正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABCD【解析】【分析】利用双曲线的定义以及焦点三角形中的余弦定理求解的关系再化简即可.【详解】由双曲线的定义有,又,故,.又,所以.在焦点三角形中, ,即,化简得或,即或.当时即.当时即.综上,ABCD均可能正确.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了根据双曲线的性质与焦点三角形中的关系求解双曲线基本量关系的方法.属于中档题.11.已知函数，则以下结论错误的是（ ）A. 任意的，且，都有B. 任意的，且，都有C. 有最小值，无最大值D. 有最小值
9、，无最大值【答案】ABC【解析】【分析】根据与的单调性逐个判定即可.【详解】对A, 中为增函数,为减函数.故为增函数.故任意的,且,都有.故A错误.对B,易得反例,.故不成立.故B错误.对C, 当因为为增函数,且当时,当时.故无最小值,无最大值.故C错误.对D, ,当且仅当即时等号成立. 当时.故有最小值,无最大值.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.12.如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 平面C. 存在点E，使得平面平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】AB
10、D【解析】【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明再证明平面即可.对C,根据与平面有交点判定即可.对D,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.【详解】在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;在B中,因为,故,故.故,又有,所以平面,故B正确；在C中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故C错误.在D中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则的值为_.【答案】【解析
11、】【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得,利用两角和的正切公式可得,然后相除可得.【详解】因为,所以,所以.故答案为: 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.14.甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口硫导交通,每个路口有1名或2名志原者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数_(用数字作答).【答案】【解析】【分析】甲、乙两人在同一路口时，根据题意可知:另外两人在同一路口，剩下一个在第三个路口,即可求解.【详解】解： 甲、乙两人在同一路口分配方案，故答案为.【点睛】本题考查排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.抛物线：的焦点
12、坐标是_；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则_.【答案】 (1). (2). 9【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把转化为，再转化为，从而得出结论【详解】解：抛物线：的焦点过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线 于，则由抛物线的定义可得再根据为线段的中点，故答案为：焦点坐标是，【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，其中不要忽略中位线的性质，梯形的中位线是上底与下底和的一半，属于中档题16.在直三棱柱中，且,，设其外接球球心为，且球的表面积为，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】先计算球的半径为，确定球心为的
13、中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.【详解】球的表面积为如图所示：为中点，连接 ，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.在中：，故；在中：，故，故 故答案为【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知首项为的等比数列的前项和为. （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，求出，可得出，然后利用裂项求和法可求出数列的
14、前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，整理得，解得或，因此，或；（2），因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.18.在中，为边上的中点（1）求的值；（2）若，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，由三角形面积公式，得到，进而可求出结果；（2）先由，得到，求出，根据余弦定理，以及，列出等式，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为在中，为边上的中点，所以，即，；（2）由得，所以，在中，在中，而，所以，解得.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形面积公式，以及余弦定理即可，属于常考题型.19
15、.如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连结，推导出为平行四边形，从而，由此能证明平面（2）取中点，连结，取的中点，连结，推导出，从而平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值【详解】解：（1）取中点，连结，.，是，的中点，且.，又，为平行四边形，又平面，且平面，平面；（2）取中点，连接，取的中点，连接，.设，由（1）得，为等边三角形，同理，平面平面，平面平面，平面，平面.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间
16、直角坐标系，则，设平面的法向量，则，取，得，又平面的法向量，由图得二面角的平面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：
17、相关系数公式，参考数据：，.回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（1）；（2），6.1百千克.【解析】【分析】（1）直接利用相关系数的公式求相关系数，再根据相关系数的大小判断可用线性回归模型拟合与的关系.（2）利用最小二乘法求回归方程，再利用回归方程预测得解.详解】（1）由已知数据可得，.所以，所以相关系数.因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.（2）.那么.所以回归方程为.当时，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.【点睛】本题主要考查相关系数和回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知椭圆的右焦点
18、为，是椭圆上一点，轴，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为，可得出点在椭圆上，将这个点的坐标代入椭圆的方程可得出，结合可求出的值，从而可得出椭圆的标准方程；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在轴时，可得出，从而求出的面积；在直线斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，得出，计算出与的高，可得出面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，则有，又，因此，椭圆的标准
19、方程为；（2）当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，由，得.，从而已知，可得.设到直线的距离为，则，.将代入化简得.令，则.当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.综上：的面积最大，最大值为.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题.22.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【答案
20、】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在,【解析】【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）求出导函数，假设存在，则在上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值详解】（1）当时，所以令，则或，令，则，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在，满足题设，因为函数所以要使函数在上单调递增，即，令，则，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，且，在上的最大值为所以存在，满足题设【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值一般情况下，我们用确定增区间，用确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多
