1、专题三 综合与实践本节大专题复习思路：落实活动建议（综合实践）是山西中考命题落实活动建议（综合实践）是山西中考命题“六个维度六个维度”之一，之一，在中考数学试题中常出现在在中考数学试题中常出现在2222题题.题目有起点低、入口宽、方法多、题目有起点低、入口宽、方法多、综合性强、难度大的特点综合性强、难度大的特点.该类型题综合考查图形的对称、平移、该类型题综合考查图形的对称、平移、旋转、三角形、四边形等核心主干知识，对学生几何直观、逻辑推旋转、三角形、四边形等核心主干知识，对学生几何直观、逻辑推理能力要求很高理能力要求很高.本书在提分小专题中以逐级拆分一题多问的形式讲解了部分典本书在提分小专题中
2、以逐级拆分一题多问的形式讲解了部分典型问题的解题策略和方法，该满分大专题将在此基础上进行综合提型问题的解题策略和方法，该满分大专题将在此基础上进行综合提升，学生可复习巩固小专题的内容后研究本专题，也可将两部分内升，学生可复习巩固小专题的内容后研究本专题，也可将两部分内容按类型结合交叉复习容按类型结合交叉复习.类型一 猜想与证明典例精讲1.1.（20212021适应性适应性-从特殊位置到一般位置从特殊位置到一般位置）综合与实践问题情境 如图如图1 1，M是线段是线段AB上任意一点（不与点上任意一点（不与点A，B重合），分别以重合），分别以AM和和BM为斜边在为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形同侧
3、构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形和等腰直角三角形BMD，连接连接CD.取取AB中点中点E，CD中点中点F，连接，连接EF猜想验证（1 1）如图）如图2 2，当点，当点M与点与点E重合时，试判断重合时，试判断EF与与CD之间的数之间的数量关系，并说明理由量关系，并说明理由.思路启迪：方法一：根据直角三角形斜边中线是斜边一半求解即可方法一：根据直角三角形斜边中线是斜边一半求解即可.思路启迪：方法二：联系有关中点构方法二：联系有关中点构造辅助线，造辅助线，如示意图如示意图1.1.（2 2）如图）如图3 3，当点，当点M与点与点E不重合时，问题（不重合时，问题（1 1）中的结论是否仍然成）中的
4、结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.思路启迪：图形在变，字母不图形在变，字母不变，方法不变变，方法不变.观察发现斜边观察发现斜边中线定理不能沿用，所以沿用中线定理不能沿用，所以沿用（1 1）中的思路启迪的方法二）中的思路启迪的方法二.（3 3）如图）如图3 3，若，若AB =2 2，线段，线段EFEF的长是否存在最小值？若存在，请直的长是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由接写出最小值；若不存在，请说明理由2.2.（从特殊图形到一般图形从特殊图形到一般图形）阅读材料 如图如图1 1，ABC与与D
5、EF都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90=90，且点且点D在在AB边上，边上，AB，EF的中点均为的中点均为O，连接，连接BF，CD，CO，显然点，显然点C，F，O在同一条直线上，可以证明在同一条直线上，可以证明BOFCOD，所以，所以BF=CD（1 1）将图）将图1 1中的中的RtDEF绕点绕点O旋转到图旋转到图2 2的位置，猜想此时线段的位置，猜想此时线段BF与与CD的数量关系，并证明你的结论的数量关系，并证明你的结论.思路启迪:图形在变，关键条件不变，思路图形在变，关键条件不变，思路不变，方法不变不变，方法不变.解：猜想：猜想：BF =CD.理由如下：理由如下：如
6、答图如答图1 1所示，连接所示，连接OC，OD ABC为等腰直角三角形，点为等腰直角三角形，点O为斜边为斜边AB的中点，的中点，OB=OC.OCAB.BOC =9090 DEF为等腰直角三角形，点为等腰直角三角形，点O为斜边为斜边EF的中点，的中点，OF =OD，DOF=90 90 BOF=BOC +COF =9090+COF，COD=DOF+COF =9090+COF，BOF =COD BOF COD（SAS）.BF =CD（2 2）如图）如图3 3，若，若ABC与与DEF都是等边三角形，都是等边三角形，AB，EF的中点均的中点均为为O，（，（1 1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；
7、如果不成立，）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出请求出BF与与CD之间的数量关系之间的数量关系.（3 3）如图）如图4 4，若，若ABC与与DEF都是等腰三角形，都是等腰三角形，AB，EF的中点均的中点均为为O，且顶角，且顶角ACB =EDF=，BF与与CD之间有怎样的数量关系之间有怎样的数量关系（用含（用含的式子表示出来）？的式子表示出来）？类型二 图形的平移典例精讲1.综合与实践 问题情境 如图如图 1 1，ABCD中，中，A =60=60，AB BD，AB=1.=1.菱形菱形当当ABD沿着射线沿着射线BD的方向平移的方向平移 个单位长度时，四边形个单位长度时，四边
8、形ABCD的形状是矩形的形状是矩形.（2 2）如图）如图3 3，将图，将图1 1中的中的ABD沿着射线沿着射线BC的方向平移得的方向平移得ABD，点点A，B，D的对应点分别为点的对应点分别为点A，B，D，连接，连接 AB，CD.在平移在平移的过程中，四边形的过程中，四边形 ABCD能否成为菱形？若能，求出平移的距离；能否成为菱形？若能，求出平移的距离；若不能，说明理由若不能，说明理由.拓展延伸（3 3）请你参照以上操作，将图）请你参照以上操作，将图1 1中的中的ABD在同一平面内进行两次平在同一平面内进行两次平移，得到移，得到ABD，点，点A，B，D的对应点分别为点的对应点分别为点A，B，D，
9、连，连接接AB，CD，使得四边形，使得四边形ABCD为正方形为正方形.在图在图4 4中画出平移后构中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，不必证明造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，不必证明.满分笔记图形的平移方法提炼满分训练2.2.如图如图1 1，ABC DEF，且点，且点B，E重合，重合，点点C，F重合，重合，A =90=90，AB=3=3，AC =4.=4.（1 1）如图）如图 2 2，将，将DEF 沿射线沿射线 CB 方向平移，方向平移，连接连接 AE，AF，当，当 AEDF 时，时，AE 和和 AC 有有什么数量关系？判断四边形什么数量关系？判断四边形AED
10、F的形状，说的形状，说明理由，求出明理由，求出DEF的平移距离的平移距离.解：AE=AC，四边形，四边形AEDF是矩形是矩形.理由如下：理由如下：（2 2）如图）如图3 3，将，将DEF沿射线沿射线CB方向平移，当点方向平移，当点D落在射线落在射线AB上时，上时，DB和和DE有什么数量关系？说明理由并求出有什么数量关系？说明理由并求出DEF的平移距离的平移距离.（3 3）如图）如图4 4，将，将DEF沿射线沿射线BC方向平移，过点方向平移，过点D作作DGAB交射线交射线BC于点于点G，连接，连接AG，判断四边形，判断四边形ABDG的形状，并说明理由的形状，并说明理由.解：四边形四边形ABDG是
11、平行四边形是平行四边形.理由如下：理由如下：DGAB，DGB=ABG.ABG=DEG，DGB=DEG.DG=DE.DE=AB，DG=AB.四边形四边形ABDG是平行四边形是平行四边形.（4 4）在（）在（3 3）的条件下，当四边形）的条件下，当四边形ABDG为矩形时，直接写出为矩形时，直接写出DEF平移的距离平移的距离.类型三 图形的对称典例精讲1.1.（20212021山西山西2222题题1313分）分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题数学活动课上，老师提出了一个问题:如图如图1 1，在，在 ABCD中，中，BEAD，垂足为，垂足为E，F为为CD的中点，连接的中点，连接
12、EF，BF，试猜想，试猜想 EF 与与 BF 的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明独立思考：（1 1）请解答老师提出的问题）请解答老师提出的问题.证法二：如答图证法二：如答图2 2，过点，过点F作作FMEB于点于点M，通过平行线分线段成比例，得到通过平行线分线段成比例，得到FM垂直平分垂直平分EB，FE=FB.实践探究：（2 2）希望小组受此问题的启发，将）希望小组受此问题的启发，将 ABCD沿着沿着BF（F为为CD的中点）所在直线折叠，如图的中点）所在直线折叠，如图2 2，点，点C的对应点为的对应点为C，连接，连接DC并延并延长交长交AB于点于点G，请判断，请判断AG与与BG的数量关
13、系，并加以证明的数量关系，并加以证明.证法二：如答图证法二：如答图4 4，连接，连接CC交交FB于于N.由折叠可知由折叠可知 FC=FC，CCFB.易得易得FCD，FCC是等腰三角形是等腰三角形 .易得易得2=2=C FN.易证四边形易证四边形 DGBF 为平行四边形，可证为平行四边形，可证AG=GB.思路启迪：（1 1）求一个三角形中两条线段相等可以联想到等腰三角形的判定）求一个三角形中两条线段相等可以联想到等腰三角形的判定和垂直平分线性质定理和垂直平分线性质定理.（2 2）证明）证明AG=BG只要证明只要证明G是中点即可是中点即可.问题解决：（3 3）智慧小组突发奇想，将）智慧小组突发奇想
14、，将 ABCD沿过点沿过点B的直线折叠，的直线折叠，如图如图3 3，点，点A的对应点为的对应点为A，使，使A BCD于点于点 H，折痕交，折痕交 AD 于点于点 M，连接连接 A M，交，交 CD 于点于点 N.该小组提出了一个问题该小组提出了一个问题:若此若此 ABCD 的面积为的面积为 2020，AB=5=5，BC =25=25，求图中阴影部分（四边形，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积的面积.请你思考此问题，直接写出结果请你思考此问题，直接写出结果.满分训练实践操作：如图如图1 1，在矩形纸片，在矩形纸片ABCD中，中，AD=8 cm=8 cm，AB =12 cm.=12 cm.第一
15、步，如图第一步，如图2 2，将图，将图1 1中的矩形纸片中的矩形纸片ABCD沿过点沿过点A的直线折叠，使点的直线折叠，使点D落在落在AB上的点上的点E处，折痕为处，折痕为AF，再沿，再沿EF折叠，然后把纸片展平折叠，然后把纸片展平.第二步，如图第二步，如图3 3，将图，将图2 2中的矩形纸片再次折叠，使点中的矩形纸片再次折叠，使点D与点与点F重合，折重合，折痕为痕为GH，然后展平，隐去，然后展平，隐去AF.第三步，如图第三步，如图 4 4，将图，将图 3 3中的矩形纸片沿中的矩形纸片沿 AH折叠，得到折叠，得到ADH，再，再沿沿 AD折叠，折痕为折叠，折痕为 AM，AM与折痕与折痕 EF交于点
16、交于点N，然后展平，然后展平.问题解决：（1 1）请在图）请在图2 2中证明四边形中证明四边形AEFD是正方形是正方形证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，D=DAE=90=90.由折叠知：由折叠知：AE=AD，AEF=D=90=90.D=DAE=AEF=90=90.四边形四边形AEFD是矩形是矩形.AE=AD，矩形矩形AEFD是正方形是正方形.（2 2）请在图）请在图 4 4 中判断中判断 NF 与与 ND的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明解：解：NF=ND.证明如下：如答图，连接证明如下：如答图，连接HN.由折叠知：由折叠知：ADH=D=90=90，HF=HD=HD.四边形四
17、边形AEFD是正方形，是正方形，EFD=90=90.ADH=90=90，HDN=90=90.在在RtRtHNF和和RtRtHND中，中，HN=HN,HF=HD,RtRtHNF Rt RtHND.NF=ND.（3 3）请在图）请在图4 4中证明中证明AEN是（是（3 3，4 4，5 5）型三角形）型三角形解：解：四边形四边形AEFD是正方形，是正方形，AE=EF=AD=8.=8.由折叠知由折叠知：AD=AD=8.=8.设设NF=x cm cm，则，则ND=x.AN=AD+ND=8+=8+x，EN=EF-NF=8-=8-x.在在RtRtAEN中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得AN2 2=AE2
18、2+EN2 2.即（即（8+8+x）2 2=8=82 2+（8-8-x）2 2.解得解得x=2.=2.AN=10=10，EN=6.=6.ENAEAN=6810=345.=6810=345.AEN是（是（3 3，4 4，5 5）型三角形）型三角形.探索发现：（4 4）在不添加字母的情况下，图）在不添加字母的情况下，图4 4中还有哪些三角形是（中还有哪些三角形是（3 3，4 4，5 5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称型三角形？请找出并直接写出它们的名称 .解：MFN，MDH，MDA.类型四 图形的旋转典例精讲1.1.将正方形将正方形ABCD的边的边AB绕点绕点A逆时针旋转至逆时针旋转至AB，
19、记旋转角为，记旋转角为.连接连接BB，过点，过点D作作DE垂直于直线垂直于直线BB，垂足为，垂足为E，连接，连接DB，CE.等腰直角三角形等腰直角三角形思路启迪：（1 1）图）图1 1中所有角度都可求中所有角度都可求.（2 2）当）当0 0 360 360且且 90 90时，时，（1 1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，就图）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，就图2 2的情形进行的情形进行 证明；如果不成立，请说明理由证明；如果不成立，请说明理由.思路启迪：（2 2）联系）联系 172 172 页页提分小专题十二提分小专题十二图形旋转图形旋转的证明的证明重点讲解的旋转相似模重点讲解的旋转
20、相似模型型.满分训练2.2.（20212021嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第7272页例页例2 2后，进一步开后，进一步开展探究活动：将一个矩形展探究活动：将一个矩形ABCD绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转（0 0 90 90）沿对角线）沿对角线 AC 剪开，得剪开，得ABC和和ACD操作发现（1 1）将图）将图1 1中的中的ACD以点以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，使 =BAC，得到如图，得到如图 2 2 所示的所示的AC D，分别延长，分别延长BC和和DC 交交于点于点E，则四边形，则四边形ACEC 的形状是的形状是 .菱
21、形菱形思路启迪：（1 1）图）图1 1中，要厘清三个关键点：中，要厘清三个关键点：谁在转谁在转等腰三角形，等腰三角形，绕哪转绕哪转旋转中心旋转中心.转到哪转到哪旋转角的特殊性旋转角的特殊性.（2 2）创新小组将图）创新小组将图1 1中的中的ACD以点以点 A为旋转中心，按逆时针方向旋为旋转中心，按逆时针方向旋转转，使，使=2=2BAC，得到如图，得到如图3 3所示的所示的ACD，连接，连接DB，CC，得到四边形得到四边形BCCD，发现它是矩形，发现它是矩形.请你证明这个结论请你证明这个结论.思路启迪：（2 2）图）图3 3中的矩形可看作由四个等腰三角中的矩形可看作由四个等腰三角形拼成，可以联系
22、等腰三角形的性质来解答问题形拼成，可以联系等腰三角形的性质来解答问题.又又AEBC，CEA=90=90，BCC=180=180-CEA=90=90，平行四边形平行四边形BCCD是矩形是矩形.实践探究（3 3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图 3 3 中中 BC=13 cm13 cm，AC=10 cm=10 cm，然后提出一个问题：将，然后提出一个问题：将 ACD 沿着射线沿着射线 DB 方向平方向平移移 a cmcm，得到，得到ACD，连接，连接BD，CC，使四边形，使四边形BCCD恰好为正方形，恰好为正方形，求求a的值的值.请你解答此问题请你解答此问题.思路启迪：（3 3）厘清平移的性）厘清平移的性质结合正方形的判定可顺利解答质结合正方形的判定可顺利解答.（4 4）请你参照以上操作，将图）请你参照以上操作，将图1 1中的中的ACD在同一平面内进行一次平在同一平面内进行一次平移，得到移，得到ACD，在图，在图4 4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明.
