1、平行束和扇形束算法的转换16级 曹婷婷、敖经盛2017年7月1学堂A 平行束图像重建(FBP)扇形束图像重建2学堂A平行束图像重建 1、图像重建的基本原理 CT中用探测器测量X射线透过人体后的强度值，即为X射线与人体相互作用后沿某一方向的线积分（投影）。x射线扫描通过路径后 其中P为投影值 基本出发点是：寻求衰减系数 分布。PIIdni0ln13学堂A)sin,cos(),(FP中心切片定理中心切片定理:二维图像的一维投影（线积分）的傅立叶变换，恰好等于图像本身的二维傅立叶变换的一个特定截面。4学堂A 通过转动投影方向，可以得到各个方向上傅立叶变换的特定截面，从而获得整个二维平面的傅立叶变换，
2、最后由傅立叶逆变换得到重建的图像5学堂A平行束图像重建滤波反投影法（FBP)（1）求投影数据 的以s为变量的一维傅里叶变换，得到（2）对 乘以斜波滤波器的传递函数 ，得到（3）求 的以 为变量的以为傅里叶反变换，得到 ),(sp),(P),(P),(Q),(Q),(sq6学堂A dudvevuFyxfvyuxi)(2),(),(将直角坐标（u，v）转换成极坐标（w,）.cos wusin wvwwwvwvuwuJcossinsincos雅各比行列式为故wdwddudv 则20 0)sincos(2),(),(wdwdewFyxfyxiwpolar7学堂A具体的推导 0)sincos(220 0
3、)sincos(2),(),(),(),(),(),(ddeFyxfFFddeFyxfyxipolarpolarpolaryxipolar，所以因为根据中心切片定理，可以用P来代替F:0)sincos(2),(),(ddePyxfyxi其中 是斜坡滤波器的传递函数8学堂A0sincos)sincos(2)(),(),()(dsqyxfdwewwPsqyxsyxiw则令滤波w背投影dwewdtetpsqiwsiwt22)()(滤波：交换积分次序：dwdtewtpsqtsiw)(2)()(-)()(dttshtp卷积的形式dwewtshtsiw)(2)(卷积核最终的形式：9学堂A扇形束图像重建 对
4、于平行束成像，我们用中心切片定理推导出了一些图像重建的算法。对于扇形束成像，并没有相应的中心切片定理。转换的思路：把所有的扇形束射线放在一起进行分组，把互相平行的射线分为一组，这样就把扇形束的成像问题简化为平行束的成像问题。10学堂A对与扇形束成像，我们并没有相应的中心切片定理。我们只好想个别的办法来推导扇形束的图像重建算法。这个办法就是把扇形束的成像问题转化成平行光束的成像问题，把平行光束图像重建的算法修正一下然后应用于解决扇形束的成像问题中。11学堂A12学堂A13学堂A等角度扇形重建算法 出发点是平行束的FBP的算法推导，但是要用极坐标 ，而不是直角坐标系（x,y）的表达式，所以要对坐标
5、进行替换：),(r),cos(sincos,sin,cosryxryrx14学堂A已知平行束重建算法为：转化为极坐标后得：),cos(sincos,sin,cosryxryrx 0)sincos(),(),(dsdsyxhspyxfdsdsrhsprf)cos(),(21),(20 15学堂A利用 将平行束的变量dsd换成扇形束的变量dd，其中雅克比因子为 ，这样可得sin,Ds cosDJ dsdsrhsprf)cos(),(21),(20 变成 20cos)sin)cos(),(21),(mmddDDrhgrf对这一部分利用几何关系化简16学堂AddDDhgrfmm 20cos)sin()
6、,(21),()sin(sincoscossinsin)sin(cossinsinsin)sin(cos)cos(sin)cos(DDDDrDDrrDr17学堂A斜坡滤波器卷积核的一个特殊性质：)(sin)sin(2hDDh证明过程如下：斜坡滤波卷积核的定义是dethti2)(ddDhDgrfmm 2022cos)()sin()(),(21),(不加窗时成立，加窗时会使重建不精确18学堂AddDhDgrfmm 2022cos)()sin()(),(21),(202/2/2)(),()(cos)(1),(ddhgDrffan19学堂A202/2/2)(),()(cos)(1)(r,ddhgDff
7、an 假如我们现在想重建某点 的值，我们先确定一个，即确定了源的位置，由于重建点的位置也是确定的，故D和均为确定的值。然后用卷积核 对不同角的信号进行卷积。当这个 角度的卷积完成后，我们对0-180所有角度的做一个积分，即背投影过程。这就是扇形束的滤波背投影算法。),r（fanh20学堂A短扫描在平行光束成像中，当探测器绕物体旋转2(即360),每一条投影射线都被测了两次。冗余的数据可由下面这个表达式给出可见,由两个面对面的探测器测得的数据都是冗余的。所以，探测器旋转180 即可提供足够的数据。21学堂A根据同样的道理，当扇形束探测器旋转2,每条投影射线也都被测到了两次。冗余的数据可由下面这个
8、表达式给出由于数据冗余，在扇形束数据采集中没有必要让探测器做2 全扫描。扫描角度()可以小于2,这种扫描方式叫做短扫描短扫描。22学堂A 角度 的最小取值范围取决于数据采集时物体与探测器之间的几何关系。角度的最小取值区间可能小于(下图左)，可能等于(中)，也可能大于(右)。确定扫描区间的原则是，我们感兴趣的物体中的每一点都要有180的角度覆盖。要注意的是，在扇形束短扫描成像中，并不是所有的线积分都被刚好测到一次。有些线积分被测到一次，而另一些线积分会被测到两次。即使在扫描角度 的范围小于 的情形,还是有一些线积分会被测到两次的。其实，任何直线，只要它与扇形的焦点轨迹有两个交点，那么沿这条线的线积分就被测到了两次(图3.10)。23学堂A其实，任何直线，只要它与扇形的焦点轨迹有两个交点，那么沿这条线的线积分就被测到了两次。为了获得足够的数据来做断层成像，我们要求过物体的每一条线的线积分都要至少被测到一次。对于冗余的数据，在图像重建时需要施加适当的权函数来处理。举例来说，若一个线积分被测到了两次，对它们要进行加权，而且它们的权因子之和一定要是1。24学堂A数据冗余条件25学堂A主要参考资料：1 CT重建算法；闫镔，李磊 编著；2014，科学出版社2 CT重建算法；曾根生；2009年，高等教育出版社26学堂A
