1、正多边形与圆三角形的外接圆弦、弧、圆心角的关系定理推论与圆有关的概念及性质圆内接四边形的性质辅助线作法定理推论*垂径定理及其推论圆周角定理及其推论圆的基本性质定理推论概念对称性考点精讲考点精讲【对接教材】【对接教材】人教人教：九上第二十四章九上第二十四章P78-P91、P105-P110；北师：北师：九下第三章九下第三章P64-P88、P97.概念概念圆心角：顶点在圆心的角，如图圆心角：顶点在圆心的角，如图1:BOC,AOC圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的 角，如图角，如图1:BAC弦：连接圆上任意两点所得的线段，如弦：连接圆上任意两点所得的线段
2、，如AC，经，经 过圆心的弦叫做直径，如图过圆心的弦叫做直径，如图1:AB圆弧：圆上任意两点间的部分，如图圆弧：圆上任意两点间的部分，如图1:，AC对称性对称性:圆是轴对称图形，任何一条圆是轴对称图形，任何一条_所在的直线都是圆的对称轴；所在的直线都是圆的对称轴；也是中心对称图形，也是中心对称图形，_就是它的对称中心图就是它的对称中心图直径直径圆心圆心ABC与圆有与圆有关的概关的概念及性念及性质质*垂径定理垂径定理及其推论及其推论定理：垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径_弦弦,并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条_推论：平分弦推论：平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦于弦,并且并且
3、_弦所对的两弦所对的两条弧条弧辅助线作法：作圆心到弦的垂线及连接过弦端点的半径，构造以半径、辅助线作法：作圆心到弦的垂线及连接过弦端点的半径，构造以半径、弦的一半、圆心到弦的距离为边的直角三角形弦的一半、圆心到弦的距离为边的直角三角形弧、弦、圆弧、弦、圆心角之间的心角之间的关系关系定理：在同圆或等圆中定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等的圆心角所对的弧_,所对的弦所对的弦_推论：推论：1.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果两条弧相等如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等所对的弦相等;2.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果两条弦相等如果两条弦相等
4、,那么它们所对的圆心角相等那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等所对的优弧和劣弧分别相等平分平分弧弧垂直垂直平分平分相等相等相等相等圆周角定理圆周角定理及其推论及其推论定理定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_1.同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_2.直径（半圆）所对的圆周角是直径（半圆）所对的圆周角是_3.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_推论推论一半一半相等相等直角直角(90)直径直径三角形的三角形的外接圆外接圆概念：经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，如图概念：经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，如图2 2
5、圆心：三角形三条边的圆心：三角形三条边的_的交点的交点性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离_角度关系：角度关系：BOC=2A垂直平分线垂直平分线相等相等圆内接圆内接四边形四边形的性质的性质1.圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_,如图如图3A+BCD=_B+D=_2.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的_如图如图3，DCE=_180180内对角内对角A互补互补圆周角定理及其推论的相关计算（省卷2考，昆明卷2016.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,过圆心的弦叫做直径，如图1:AB嘉
6、嘉求的结果不对，A应得50对称性:圆是轴对称图形，任何一条_所在的直线都是圆的对称轴；对称性:圆是轴对称图形，任何一条_所在的直线都是圆的对称轴；定理：垂直于弦的直径_弦,并且平分弦所对的两条_第一节 圆的基本性质（2018曲靖10题3分）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点，若A=n，则DCE=_.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A还应有另一个不同的值.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图，CD为 O的直径，弦ABCD，垂足为E,CE=1寸，AB=1尺（10寸），求直径CDCD长为()推论：平分弦(不是直
7、径)的直径_于弦,并且_弦所对的两条弧如图，一块直角三角板的30角的顶点P落在 O上，两边分别交 O于A、B两点，若 O的直径为8，则弦AB长为()淇淇说的对，且A的另一个值是115正多边正多边形与圆形与圆如图如图4，设正，设正n边形的边长为边形的边长为a,中心角中心角=d（边心距），（边心距），R（半径），（半径），a（正多边形边长）三者之间关系：（正多边形边长）三者之间关系：正正n边形的周长边形的周长l=na;正正n边形面积边形面积S=ld=nado360n222()2ad+=R1212图4全国视野全国视野 核心素养提升核心素养提升1.（2020河北）有一题目：河北）有一题目：“已知：点已
8、知：点O为为ABC的外心，的外心，BOC=130，求求A.”嘉嘉的解答为：画嘉嘉的解答为：画ABC以及它的外接圆以及它的外接圆O，连接，连接OB，OC,如图如图.由由BOC=2A=130，得，得A=65.而淇淇说：而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，嘉嘉考虑的不周全，A还应有另一个不同的值还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是下列判断正确的是()A.淇淇说的对，且淇淇说的对，且A的另一个值是的另一个值是115B.淇淇说的不对，淇淇说的不对，A就得就得65C.嘉嘉求的结果不对，嘉嘉求的结果不对，A应得应得50D.两人都不对，两人都不对，A应有应有3个不同值个不同值第1题图A2.（数学文化数学文化）（
9、）（2020云师大实验模拟云师大实验模拟）“圆材埋壁圆材埋壁”是我国古代著名是我国古代著名数学专著九章算术中的一个问题，数学专著九章算术中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大今有圆材，埋在壁中，不知大小小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表用现在的数学语言表述是：如图，述是：如图，CD为为O的直径，弦的直径，弦ABCD，垂足为，垂足为E,CE=1寸，寸，AB=1尺尺（10寸），求直径寸），求直径CDCD长为长为()()寸寸 B.13寸寸 C.25寸寸 D.26寸寸第2题图D3.（数学文化）（数学文化）（2020株洲）据汉书株
10、洲）据汉书律历志记载律历志记载:“量量者，龠者，龠(yu)、合、升、斗、斛合、升、斗、斛(h)也也”.斛是中国古代的一斛是中国古代的一种量器，种量器，“斛底，方而圜斛底，方而圜(hun)其外，旁有庣其外，旁有庣(tio)焉焉”.意思是说意思是说:“斛的底面为斛的底面为:正方形外接一个圆，正方形外接一个圆，此圆外是一此圆外是一个同心圆个同心圆”，如图所示，如图所示.问题问题:现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即尺即尺)，“庣旁庣旁”为两寸五分为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺为尺)，则此斛底面的正方形的周长为，
11、则此斛底面的正方形的周长为_尺尺.(结果用结果用最简根式表示最简根式表示)第3题图4 2玩转云南玩转云南8年中考真题年中考真题圆周角定理及其推论的相关计算圆周角定理及其推论的相关计算（省卷省卷2考，昆明卷考，昆明卷2016.12涉及涉及）命题点命题点11.（2015省卷省卷13题题3分分）如图，点如图，点A、B、C是是O上的点，上的点，OA=AB,则则C的度数的度数为为_.第1题图30而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A还应有另一个不同的值.第一节 圆的基本性质A+BCD=_B+D=_如图，AB,CD是 O的两条弦，连接AD,BC.北师：九下第三章P64-P88、P97.定理：在同圆或等圆中,相等
12、的圆心角所对的弧_,所对的弦_（2018曲靖10题3分）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点，若A=n，则DCE=_.”嘉嘉的解答为：画ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC,如图.（2015省卷13题3分）如图，点A、B、C是 O上的点，OA=AB,则C的度数为_.斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hun)其外，旁有庣(tio)焉”.第一节 圆的基本性质所对的优弧和劣弧分别相等若BAD=60,则BCD的度数为()正n边形的周长l=na;正n边形面积S=ld=nad（2018曲靖10题3分）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点，若A=n，则DCE=_.4
13、D.北师：九下第三章P64-P88、P97.90的圆周角所对的弦是_辅助线作法：作圆心到弦的垂线及连接过弦端点的半径，构造以半径、两人都不对，A应有3个不同值2.（2015曲靖卷曲靖卷12题题3分分）如图，在半径为如图，在半径为3的的O中，直径中，直径AB与弦与弦CD相交于点相交于点E，连接，连接AC，BD，若，若AC=2，则，则cosD=_.第2题图133.（2017省卷省卷14题题4分分）如图，如图，B,C是是A上的两点，上的两点，AB的垂直平分线与的垂直平分线与A交交于于E,F两点，与线段两点，与线段AC交于交于D点，若点，若BFC=20，则，则DBC=()=()A.30B.29C.28
14、D.20第3题图A玩转真题玩转真题 拓展训练拓展训练4.如图，如图，AB,CD是是O的两条弦，连接的两条弦，连接AD,BC.若若BAD=60,则则BCD的度的度数为数为()()A.40 B.50 C.60 D.70第4题图C5.如图，一块直角三角板的如图，一块直角三角板的30角的顶点角的顶点P落在落在O上，两边分别交上，两边分别交O于于A、B两点，若两点，若O的直径为的直径为8，则弦，则弦AB长为长为()()A.B.C.4 D.8第5题图2 22 3C圆内接多边形的相关计算圆内接多边形的相关计算命题点命题点26.（2018曲靖曲靖10题题3分分）如图，四边形如图，四边形ABCD内接于内接于O，
15、E为为BC延长线上一点，延长线上一点，若若A=n，则，则DCE=_.第6题图n嘉嘉求的结果不对，A应得5090的圆周角所对的弦是_B.（2018曲靖10题3分）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点，若A=n，则DCE=_.正n边形的周长l=na;正n边形面积S=ld=nad问题:现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺)，则此斛底面的正方形的周长为_尺.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图，CD为 O的直径，弦ABCD，垂足为E,CE=1寸，AB=1尺（10寸），求直径CDCD长为(
16、)如图，一块直角三角板的30角的顶点P落在 O上，两边分别交 O于A、B两点，若 O的直径为8，则弦AB长为()定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_,所对的弦_淇淇说的不对，A就得65【对接教材】人教：九上第二十四章P78-P91、P105-P110；圆内接多边形的相关计算在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,概念：经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，如图2A+BCD=_B+D=_若BAD=60,则BCD的度数为()圆心角：顶点在圆心的角，如图1:BOC,AOC所对的优弧和劣弧分别相等玩转真题玩转真题 拓展训练拓展训练连接连接OB，OD，若，若BCD=120，则，则BOD=_.120
