1、北北师大版九师大版九年级上年级上册册第一章第一章特殊平行四边形特殊平行四边形专题复习专题复习思维导图思维导图（一）平（一）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形二、知识梳二、知识梳理理菱形菱形矩形矩形正方形正方形轴对称轴对称轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形边边对边平行，对边平行，四边都相等四边都相等 对边平行对边平行 且相等且相等角角 对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角 都是直角都是直角对角线对角线对角线互相对角线互相垂直平分垂直平分 对角线相
2、等对角线相等 且互相平分且互相平分 轴轴对称图对称图形形中中心对称图形心对称图形 对边平行对边平行四条边相等四条边相等 四个角四个角 都是相等都是相等 对角线相等对角线相等互相垂直平分互相垂直平分（二）菱（二）菱形、矩形、正方形的性质形、矩形、正方形的性质二、知识梳二、知识梳理理 四边形四边形条件条件矩形矩形菱形菱形正方形正方形（三）菱（三）菱形、矩形、正方形形、矩形、正方形的判定的判定定义：有一外角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形定义：一组邻边相等的平行四边形 四条边都相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边
3、相等的矩形有一个角是直角的菱形有一个角是有一个角是9090（或对角线互相垂直）（或对角线互相垂直）有一对邻边相等有一对邻边相等（或对角线相等）（或对角线相等）平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形一组邻边相等且一个内角为直角一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）（或对角线互相垂直平分且相等）有一个角是有一个角是9090 对角线相等对角线相等有一对邻边相等有一对邻边相等 对角线互相垂直对角线互相垂直 （三）菱（三）菱形、矩形、正方形形、矩形、正方形的判定的判定考点精析考点精析（一）菱形的性质与判定（一）菱形的性质与判定1.如如图，图，在菱形在菱形ABCD中，过点中，
4、过点A作作AEBC于点于点E，若菱形若菱形ABCD的面积为的面积为24，AE=4，则，则AB的长为的长为 （）A.12 B.6 C.D.2B B13132.如图，如图，在菱形在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，若若AB=2，ABC=60，则，则BD的长为的长为（）A.2 B.3 C.D.2D D333.如如图，图，ABC中，中，AD平分平分BAC，DEAC交交AB于于点点E，DFAB交交AC于点于点F，若，若AF=6，则四边形，则四边形AEDF的周长的周长是（是（）A.24 B.28 C.32 D.36A4.如图，如图，在四边形在四边形ABCD中，中，ABDC，A
5、B=AD，对角，对角线线AC，BD交于点交于点O，AC平分平分BAD，过点，过点C作作CEAB交交AB的延长线于点的延长线于点E，连接，连接OE（1）求证：四边形）求证：四边形ABCD是菱形；是菱形；（2）若）若AB=，BD=2，求，求OE的长的长5（1）证明：）证明：ABCD，OAB=DCA.AC为为DAB的平分线，的平分线，OAB=DAC.DCA=DAC.CD=AD=AB.ABCD，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.AD=AB，ABCD是菱形是菱形.（2）解：）解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，OA=OC，BDAC.CEAB，OE=OA=OC.BD=2，OB=BD=1.在
6、在RtAOB中，中，AB=，OB=1，OA=2.OE=OA=22155.如如图，图，四边形四边形ABCD中，中，BD垂直平分垂直平分AC，垂足为，垂足为F，E为四边形为四边形ABCD外一点，且外一点，且ADE=BAD，AEAC.（1）求证：四边形）求证：四边形ABDE是平行四边形；是平行四边形；（2）如果）如果DA平分平分BDE，AB=5，AD=6，求，求AC的长的长.（1）证明：）证明：ADE=BAD，ABDE.AEAC，BDAC，AEBD.四边形四边形ABDE是平行四边形是平行四边形.（2）解：）解：DA平分平分BDE，ADE=BDA.BAD=BDA.BD=AB=5.设设BF=x，则，则D
7、F=5-x，AD2-DF2=AB2-BF2.62-（5-x）2=52-x2.x=.AF=AC=2AF=.215245486.如如图，图，在在ABC中，中，C=90，BD平分平分ABC交交AC于点于点D，过，过D作作DEBC交交AB于点于点E，DFAB交交BC于点于点F，连接，连接EF.（1）求证：四边形）求证：四边形BFDE是菱形；是菱形；（2）若）若AB=8，AD=4，求，求BF的长的长.（1 1）证明：）证明：DEBCDEBC，DFABDFAB，四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形.BDBD平分平分ABCABC，ABD=CBD.ABD=CBD.DEBCDEBC，CBD=ED
8、B.CBD=EDB.ABD=EDB.ABD=EDB.EB=ED.EB=ED.平行四边形平行四边形BFDEBFDE是菱形是菱形.（2 2）解：）解：EDBFEDBF，C=90C=90，ADE=90ADE=90.设设BF=xBF=x，DE=BE=x.DE=BE=x.AE=8-x.AE=8-x.在在RtRtADEADE中，中，AEAE2 2=DE=DE2 2+AD+AD2 2,（8-x8-x）2 2=x=x2 2+4+42 2.解得解得x=3.x=3.BF=3.BF=3.考点精析考点精析（二）矩形的性质与判定（二）矩形的性质与判定1.如如图，在图，在矩形矩形ABCD中，中，AB=2AD，E是是CD上
9、一点，上一点，且且AE=AB，则，则CBE等于等于()A.30 B.22.5C.15 D.以上答案都不对以上答案都不对C2.如如图，图，矩形矩形ABCD中，对角线中，对角线AC=2 ，E为为BC边上边上一点，一点，BC=3BE，将矩形，将矩形ABCD沿沿AE所在的直线折叠，所在的直线折叠，点点B恰好落在对角线恰好落在对角线AC上的上的B处，则处，则AB=_.333.如如图，图，在在ABC中，中，D是是BC边上的一点，边上的一点，E是是AD的的中点，过中点，过A点作点作BC的平行线交的平行线交CE的延长线于的延长线于F，且，且AF=BD，连接，连接BF.（1）求证：）求证：D是是BC的中点的中点
10、;（2）如果）如果AB=AC，试判断四边形，试判断四边形AFBD的形状，并的形状，并证明你的结论证明你的结论.（1）证明：）证明：AFBC，AFE=DCE.E是是AD的中点，的中点，AE=DE.AEF=DEC，AEF DEC.AF=DC.AF=BD.BD=CD.D是是BC的中点的中点.（2）解：四边形）解：四边形AFBD是矩形，是矩形，证明：证明：AB=AC，D是是BC的中点，的中点，ADBC.ADB=90.AF=BD，AFBC，四边形四边形AFBD是平行四边形是平行四边形.四边形四边形AFBD是矩形是矩形.4.如如图，图，在在ABC中，中，CD是是AB边上的中线，边上的中线，E是是CD的中点
11、，过点的中点，过点C作作AB的平行线交的平行线交AE的延长线于点的延长线于点F，连接连接BF.（1）求证：）求证：CF=AD；（2）若）若CA=CB，试判断四边形，试判断四边形CDBF的形状，并说的形状，并说明理由明理由.（1）证明：）证明：ABCF,EAD=EFC，ADE=FCE.E是是CD的中点，的中点，DE=CE.在在ADE和和FCE中，中，DAE=EFC，ADE=ECF,DE=EC,ADE FCE(AAS).AD=CF.（2）解：四边形）解：四边形CDBF是矩形是矩形.理由如下：理由如下：AD=CF，CD是是AB边上的中线边上的中线,AD=BD.BD=CF.又又BDCF,四边形四边形C
12、DBF是平行四边形是平行四边形.CA=CB，AD=BD，CDAB.CDB=90.四边形四边形CDBF是矩形是矩形.考点精析考点精析（三）正方形的性质与判定（三）正方形的性质与判定1.如如图，图，P是边长为是边长为1的正方形的正方形ABCD的对角线的对角线BD上的上的一点，点一点，点E是是AB的中点，则的中点，则PA+PE的最小值是的最小值是（）A.B.C.D.A A2252622212.如如图，图，四边形四边形ABCD中，对角线中，对角线ACBD，E,F,G,H分别是各边的中点，若分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形则四边形EFHG的面积是的面积是_.123.如如图，图，在正方形在
13、正方形ABCD和正方形和正方形CEFG中，点中，点D在在CG上，上，BC=1，CE=3，H是是AF的中点，那么的中点，那么CH的长的长是是_.4.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中中，AB=BC，对对角线角线BD平平分分 ABC，P是是BD上一上一点点，过过点点P作作PM AD，PN CD,垂足分别为垂足分别为M、N.(1)求证：求证：ADB=CDB;CABDPMN证证明：明：BD平分平分ABC.ABD=CBD.AB=BC，BD=BD ABD CBD (AAS).ADB=CDB.4.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中中，AB=BC，对对角线角线BD平平分分 ABC，P是是BD上一上一点
14、点，过过点点P作作PM AD，PN CD,垂足分别为垂足分别为M、N.(2)若若ADC=90，求证：四边形求证：四边形MPND是正方形是正方形.CABDPMN（2）ADC=90;又PMAD,PNCD;PMD=PND=90.四边形NPMD是矩形.ADB=CDB;ADB=CDB=45.MPD=NPD=45.DM=PM,DN=PN.四边形NPMD是矩形5.如如图，图，点点G是正方形是正方形ABCD对角线对角线CA的延长线上任的延长线上任意一点，以线段意一点，以线段AG为边作一个正方形为边作一个正方形AEFG，线段，线段EB和和GD相交于点相交于点H（1）求证：）求证：EB=GD；证明证明:四边形四边
15、形EFGA和四边形和四边形ABCD都是正方形，都是正方形，AG=AE，AB=AD，DAB=90,EAG=90 GAD=90+EAD，EAB=90+EAD，GAD=EAB.在在GAD和和EAB中，中，AG=AE，AB=AD，GAD=EAB.GAD EAB（SAS）.EB=GD.5.如如图，图，点点G是正方形是正方形ABCD对角线对角线CA的延长线上任的延长线上任意一点，以线段意一点，以线段AG为边作一个正方形为边作一个正方形AEFG，线段，线段EB和和GD相交于点相交于点H（2）判断）判断EB与与GD的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；（2）解：）解：EBGD理理由如下：由如下：四边
16、形四边形ABCD是正方形，是正方形，DAB=90.AMB+ABM=90.又又AEB AGD，GDA=EBA.HMD=AMB（对顶角相等），（对顶角相等），HDM+DMH=AMB+ABM=90.DHM=180-（HDM+DMH）=180-90=90.EBGD5.如图，如图，点点G是正方形是正方形ABCD对角线对角线CA的延长线上任意的延长线上任意一点，以线段一点，以线段AG为边作一个正方形为边作一个正方形AEFG，线段，线段EB和和GD相交于点相交于点H（3）若）若AB=2，AG=，求，求EB的长的长解：连解：连接接AC，BD，BD与与AC交于点交于点O.AB=AD=2，在在RtABD中，中，DB=，在在RtAOB中，中，OA=OB，AB=2，由勾股定理，由勾股定理,得得2AO2=22，OA=，即即OG=OA+AG=+=2 ，EB=GD=六、布置作业六、布置作业课本课本P26 复习题复习题 谢谢聆听谢谢聆听
