1、导数的计算习题课导数的计算习题课并并且且也也可可导导们们的的和和、差差、积积、商商则则它它可可导导在在区区间间如如果果函函数数,)(),(Ixvxu).0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu);()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu );()()()()1(xvxuxvxu 一、求导的四则运算一、求导的四则运算导数的四则运算算法则导数的四则运算算法则.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即
2、反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.二、反函数的导数二、反函数的导数反函数的导数反函数的导数).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则导数复合法则导数复合法则四、莱布尼兹公式则则阶导数阶导数具有具
3、有和和设函数设函数,)()(nxgxf)()(0)()(kknnkknnggCgf )!(!knknCkn 其中其中高阶导数运算法则高阶导数运算法则),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即()()xtyt 五、参数方程求导五、参数方程求导参数方程求导参数方程求导,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd
4、 dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即参数方程求导参数方程求导axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 基本初等函数的导数基本初等函数的导数xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc初等函数的导数初等函数的导数几个常用几个常用高阶导数高阶导数常用高阶导数公式常用
5、高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)(!)1()1(nnnxnx常用高阶导数常用高阶导数 1111lnlnlnfxxxx 例例 111lnlnlnfxxxx 解解：2211111l11111nlnnlxxxxxxxx 111ln1111ln1lnlnxxxxxxxx 综合例题选讲综合例题选讲例例2 2.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21
6、 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 综合例题选讲综合例题选讲 3axxxaxfxxxa 例例 lnnlnlaxxxaxxxxaxxaxaeaefxxxe 解解：1lnlnln1lnnlxaxaxaxaxxxaxaaaaxxxaxxxxxx 综合例题选讲综合例题选讲例例4 4.),(sin)(naxybabxey求求为常数为常数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxb
7、aebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab 综合例题选讲综合例题选讲 22arcsin11 22 0nyxxyxyy 例例5 5 若若，（）；（）求求22112arcsin12arcsin1yxyxxx （）22214 arcsin4yxxy 证明：证明：22 2122412xyyx yyx yxy 综合例题选讲综合例题选讲 2212xyxy （）222221210001nnnnnxynxyn yyn yn 222120200;0;222!nnyyyyn 21121210nnnnnxynxyn nyxyny将方程两边求将方程两边求n导数导数整理得：整理得：因
8、此因此：综合例题综合例题例例6 6解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt综合例题选讲综合例题选讲)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向
9、的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 综合例题综合例题例例7 7解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dxdttdtd )tan(综合例题综合例题
