1、数学 第 1 页（共 6 页） 2020 年北京市高考适应性测试 数 学 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 （1）在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为 （A）(1, 2) （B）( 1, 2) （C）(2, 1) （D）(2,1) （2）已知集合2Ax x=，1,0,1,2,3B =，则AB = （A）0,1 （B）0,1, 2 （C）1, 0
2、,1 （D）1,0,1,2 （3）下列函数中，在区间(0,)+上为减函数的是 （A）1yx=+ （B） 2 1yx= （C） 1 ( ) 2 x y = （D） 2 logyx= （4）函数 2 ( )56f xxx=+的定义域为 （A） |2x x或3x （B） |3x x或2x （C） |23xx （D） | 32xx （5）圆心为(2, 1)且和x轴相切的圆的方程是 （A） 22 (2)(1)1xy+= （B） 22 (2)(1)1xy+= （C） 22 (2)(1)5xy+= （D） 22 (2)(1)5xy+= （6）要得到函数 sin(2) 3 yx=的图象，只需要将函数sin2y
3、x=的图象 （A）向左平移 3 个单位 （B）向左平移 6 个单位 （C）向右平移 3 个单位 （D）向右平移 6 个单位 数学 第 2 页（共 6 页） 正 （主） 视图 侧 （左） 视图 俯视图 1 22 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 体积为 （A） 2 3 （B） 4 3 （C）2 （D）4 （8）已知点(2, 0)A，(0,2)B若点P在函数yx=的图象上，则使得PAB的面积为2 的点P的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （9） 设 n a是等差数列， 且公差不为零，其前n项和为 n S则 “ * n N， 1nn SS + ”是 “ n a 为递增数列”
4、的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A，B，C，D，E 五个等级某班共 有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示该班 学生中，这两科等级均为 A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其另 外一科等级为 B则该班 （A）物理化学等级都是 B 的学生至多有12人 （B）物理化学等级都是 B 的学生至少有5人 （C）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生 至多有18人 （D）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生 至
5、少有1人 等级 科目 A B C D E 物理 10 16 9 1 0 化学 8 19 7 2 0 数学 第 3 页（共 6 页） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。 （11）已知双曲线 2 2 2 1 x y a =(0)a 的一条渐近线方程为0xy+=，则a= （12）已知向量(1,)m=a，(2,1)=b，且ab，则m= （13）抛物线 2 4yx=上到其焦点的距离为1的点的个数为 （14）在ABC中，4a =，5b =，6c =，则cos A = ，ABC的面积为 （15）函数 ( )f x的定义域为 1,1) ，其图象如图所示函数
6、 ( )g x是定义域为R的奇函数，满足 (2)( )0gxg x+= ，且当 (0,1)x 时， ( )( )g xf x= 给出下列三个结论： ； 函数 ( )g x在( 1,5) 内有且仅有3个零点； 不等式() 0fx 的解集为 | 1 0xx 其中，正确结论的序号是 注： 本题给出的结论中， 有多个符合题目要求。 全部选对得 5 分， 不选或有错选得分， 其他得 3 分。 (0)0g= 0 y x O 1 2 1 1 4 1 数学 第 4 页（共 6 页） 三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 如图， 在四棱锥P
7、ABCD中，2PDAD=，PDDA，PDDC， 底面ABCD为正方形， ,M N分别为AD，PD的中点 （）求证：PA平面MNC； （）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值 （17） （本小题 14 分） 已知 n a是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为 n S，满足 3 12a =， 是否 存在正整数k，使得2020 k S ？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由 从 2q = ， 1 2 q =， 2q = 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 P A B C N M D 数学 第 5 页（共 6 页） （18） （本小题 1
8、4 分） 为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需 要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况现 分别从A, B, C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米） ： 假设所有植株的生长情况相互独立从A, B, C三组各随机选1株，A组选出的植株记为 甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙 （）求丙的高度小于15厘米的概率； （）求甲的高度大于乙的高度的概率； （）表格中所有数据的平均数记为 0 从A, B, C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植 物，它们的高度依次是14, 16, 15（单位
9、：厘米） 这3个新数据与表格中的所有数据构 成的新样本的平均数记为 1 ，试比较 0 和 1 的大小 （结论不要求证明） （19） （本小题 15 分） 已知函数 2 1 ( )e (1)e 2 xa f xxx=，0a （）求曲线 ( )yf x= 在点(0, (0)f 处的切线方程； （）求函数( )f x的极小值； （）求函数( )f x的零点个数 组 组 组 A10111213141516 B12131415161718 C13141516171819 数学 第 6 页（共 6 页） （20） （本小题 14 分） 已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1)A，(0,1)B，焦距为2
10、3 （）求椭圆C的方程； （） 已知直线ym=与椭圆C有两个不同的交点,M N， 设D为直线AN上一点， 且直线BD， BM的斜率的积为 1 4 证明：点D在x轴上 （21） （本小题 14 分） 设数阵 1112 0 2122 aa A aa = ， 其中 11122122 ,1,2,6aaaa 设 12 , 1,2,6 l Se ee=， 其中 12l eee，lN*且6l 定义变换 k 为 “对于数阵的每一行， 若其中有k或k ， 则将这一行中每个数都乘以1；若其中没有k且没有k，则这一行中所有数均保持不变” （ 12 , l ke ee=） 0 () S A表示“将 0 A经过 1 e
11、 变换得到 1 A，再将 1 A经过 2 e 变换得到 2 A， ， 以此类推，最后将 1l A经过 l e 变换得到 l A” ，记数阵 l A中四个数的和为 0 () S T A （）若 0 12 15 A = ，写出 0 A经过 2 变换后得到的数阵 1 A； （）若 0 13 36 A = ， 1,3S = ，求 0 () S TA的值； （）对任意确定的一个数阵 0 A，证明： 0 () S T A的所有可能取值的和不超过4 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 6 页） 数学参考答案及评分参考 一、选择题（共 10 题，每题 4
12、分，共 40 分） （ 1 ）B （ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ） A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10） D 二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分） （11）1 （12）2 （13）1 （14） 3 4 15 7 4 （15） 注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分，其他 得 3 分。 三、解答题（共 6 题，共 85 分） （16） （共 14 分） 解： （）因为,M N分别为,AD PD的中点， 所以/PAMN 2 分 又因为PA平面MNC， 3 分 所以/PA平面
13、MNC 5 分 （）如图建立空间直角坐标系Dxyz设2AD =， 则(2, 2, 0)B，(0, 2, 0)C，(0, 0, 4)P，(1, 0, 0)M， (0, 0, 2)N，(2, 2,4)PB =， 7 分 (0, 2,2)NC =，( 1,0, 2)MN = 设平面MNC的法向量为( , , )nx y z=，则 0, 0, MN NC = = n n 即 20, 220. xz yz += = 10 分 令1z =，则2x =，1y =所以(2,1,1)=n 12 分 设直线PB与平面MNC所成角为， 0 D z y C B A P N M x 数学参考答案及评分参考 第 2 页（
14、共 6 页） 所以 |1 sin|cos,| 6 | PB PB PB = = n n n 14 分 （17） （共 14 分） 解 1：选择 因为 3 12a =，所以 1 3a = 4 分 所以 3(12 ) 3(21) 12 n n n S = 9 分 令2020 k S ， 即 2023 2 3 k 12 分 所以使得2020 k S 的正整数k的最小值为10 14 分 解 2：选择 因为 3 12a =，所以 1 48a = 4 分 1 48(1) 1 2 96(1) 1 2 1 2 n n n S = 9 分 因为962020 n S ， 12 分 所以不存在满足条件的正整数k.
15、14分 解 3：选择 因为 3 12a =，所以 1 3a = 4 分 所以 3 (1( 2) ) 1( 2) 1( 2) n n n S = 9 分 令2020 k S , 即1( 2)2020 k ，整理得( 2)2019 k 12 分 当k为偶数时，原不等式无解； 当k为奇数时，原不等式等价于22019 k ， 所以使得2020 k S 的正整数k的最小值为11 14 分 数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 6 页） （18） （共 14 分） 解：设事件 i A为“甲是A组的第i株植物”， 事件 i B为“乙是B组的第i株植物”， 事件 i C为“丙是C组的第i株植物”，1, 2,
16、 7i = 由题意可知 1 ()()() 7 iii P AP BP C=，1, 2, 7i = 2 分 （）设事件D为“丙的高度小于15厘米”，由题意知， 12 DCC=，又 1 C与 2 C互斥， 所以事件D的概率 1212 2 ( )()()() 7 P DP CCP CP C=+= 5 分 （）设事件E为“甲的高度大于乙的高度”由题意知， 41516171526272637374 EA BA BA BA BA BA BA BA BA BA B= 8 分 所以事件E的概率 4151617152 ( )()()()()()P EP A BP A BP A BP A BP A B=+ 627
17、2637374 ()()()()()P A BP A BP A BP A BP A B+ 41 10 ()P A B= 41 10 () ()P A P B= 10 49 = 11 分 （） 0 1 14 分 （19） （共 15 分） 解： （）因为 2 1 ( )e (1)e 2 xa f xxx=，所以( )ee xa fxxx= 2 分 所以(0)1f= ，(0)0 f = 4 分 所以曲线( )yf x=在点(0,(0)f处的切线为1y = 5 分 （）因为( )ee(ee ) xaxa fxxxx=， 令( )0fx=，得0x =或a(0)a 8 分 ( )f x与( )fx 在R
18、上的变化情况如下： 数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 6 页） x (, )a a ( , 0)a 0 (0,)+ ( )fx + 0 0 + ( )f x 10 分 由上表可知，当0x =时，( )f x有极小值(0)1f= 11 分 （）当1x时，( )0f x ， 12 分 且 22 (2)e2e e20 a f= 13 分 由（）可知，( )f x在(0,)+上单调递增， 14 分 所以函数( )f x的零点个数为1 15 分 （20） （共 14 分） 解： （）由题设，得 1, 3. b c = = 2 分 所以 222 4abc=+=，即 2a = 3 分 故椭圆C的方程为
19、 2 2 1 4 x y+= 4 分 （）设 1 ( ,)M x m，则 1 (,)Nx m， 1 0x ，11m 所以直线BM的斜率为 11 ( 1)1 0 mm xx + = 5 分 因为直线BD，BM的斜率的积为 1 4 ， 所以直线BD的斜率为 1 4(1) x m + 6 分 直线AN的方程为 1 1 1 m yx x =+ 7 分 直线BD的方程为 1 1 4(1) x yx m = + 8 分 数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 6 页） 联立 1 1 1 1, 1, 4(1) m yx x x yx m =+ = + 9 分 解得点D的纵坐标为 22 1 22 1 1 1
20、4 1 1 4 D xm y xm + = + 12 分 因为点M在椭圆C上，所以 2 21 1 4 x m+=， 13 分 则0 D y = 所以点D在x轴上 14 分 （21） （共 14 分） 解： （） 1 12 15 A = 3 分 （） 0 13 36 A = 经 S 变换后得 13 36 ， 6 分 故 0 ()1 3365 S TA= + = 8 分 （）若 1112 aa，在1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有 11 a且不含 12 a的子集共 4 2 个，经过变换后第一行均变为 1112 ,aa；含有 12 a且不含 11 a的子集共 4 2个，经 过变换后第一行均
21、变为 1112 ,aa；同时含有 11 a和 12 a的子集共 4 2个，经过变换 后第一行仍为 1112 ,aa；不含 11 a也不含 12 a的子集共 4 21个，经过变换后第一行 仍为 1112 ,aa 所以经过变换后所有 l A的第一行的所有数的和为 4444 1112111211121112 2()2()2()(21)()aaaaaaaa + + 1112 aa= 若 1112 aa=，则1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有 11 a的子集共 5 2个，经过 数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 6 页） 变换后第一行均变为 1112 ,aa；不含有 11 a的子集共 5 21个，经过变换后第一行 仍为 1112 ,aa 所以经过变换后所有 l A的第一行的所有数的和为 55 11121112 2()(21)()aaaa + 1112 aa= 12 分 同理，经过变换后所有 l A的第二行的所有数的和为 2122 aa 所以 0 () S T A的所有可能取值的和为 11122122 aaaa， 又因为 11122122 ,1,2,6aaaa ， 所以 0 () S T A的所有可能取值的和不超过4 14 分
