1、第5节 椭 圆,最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.,知 识 梳 理,1.椭圆的定义,我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作_.这两个定点F1，F2叫作椭圆的_，两个焦点F1，F2间的距离叫作_. 其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若_ ，则集合P为椭圆； (2)若_ ，则集合P为线段； (3)若_ ，则集合P为空集.,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质
2、,2a,2b,2c,(0，1),a2b2,微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( ) (3)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ),解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.,答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修21P63练习1T1改编)若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离
3、之和为10，则P点的轨迹方程是_.,A.(3，0) B.(0，3) C.(9，0) D.(0，9) 解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2a2b225169，c3，故焦点坐标为(0，3). 答案 B,答案 C,A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等,答案 D,第1课时 椭圆及简单几何性质,考点一 椭圆的定义及其应用,【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( ),A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,解析 (1)连接QA. 由已知得|QA|QP|.
4、所以|QO|QA|QO|QP|OP|r. 又因为点A在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.,PF1F2的重心为点G，SPF1F23SGPF1，GPF1的面积为8. 答案 (1)A (2)C,规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.,答案 (1)C (2)5,考点二 椭圆的标准方程 【例2】 (1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C
5、2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( ),(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为_.,解析 (1)设圆M的半径为r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且2a16，2c8，,规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有： (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.,解析 (1)椭圆长
6、轴长为6，即2a6，得a3，,答案 (1)B (2)C,考点三 椭圆的几何性质 多维探究 角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距,A.8 B.7 C.6 D.5,答案 A,角度2 椭圆的离心率,解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示， 设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120， |PF2|F1F2|2c. |OF2|c，过P作PE垂直x轴于点E，则PF2E60，,答案 D,角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题,0m3且m1，则0m1.,综上，m的取值范围是(0，19，). 答案 A,规律方法 1.求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. (2
7、)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.,【训练3】 (1)(2018贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ),(2)(2019豫南九校联考)已知两定点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( ),消去y得(2a21)x26a2x10a2a40， 由题意易知36a44(2a21)
8、(10a2a4)0，,答案 (1)D (2)A,思维升华 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn).,易错防范 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小. 2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根. 3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.,
