1、第7节 离散型随机变量及其分布列,最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.,知 识 梳 理,1.离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量. (2)离散型随机变量：随机变量的取值能够_，这样的随机变量称为离散型随机变量.,一一列举出来,(3)设离散型随机变量X取值为a1，a2，X取ai的概率为pi(i1，2，)，记作P(Xai)pi(i1，2，)或列表：,称为离散型随机变量X的分布列. (4)性质： pi_0，i1，
2、2，； p1p2pipn_.,1,2.常见离散型随机变量的分布列,(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为,pP(X1)称为成功概率.,，其中,(2)超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk)_ (其中k为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( ) (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具
3、有实际意义.( ) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出，,则它服从两点分布.( ),(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.( ) 解析 对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布
4、，(4)不正确. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修23P34例2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是_. 答案 0，1，2,3.(选修23P35讲解引申改编)已知离散型随机变量X的分布列为,则常数q_.,4.(2018菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为( ),答案 C,5.(2019郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)_.,6.(2019合肥二模改编)设随机变量X的概率分布列为,则
5、P(|X3|1)_.,考点一 离散型随机变量分布列的性质,规律方法 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.,【训练1】 随机变量X的分布列如下：,其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公差d的取值范围是_.,考点二 超几何分布的应用 典例迁移,【例2】 (经典母题)(2017山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗
6、示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.,(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则,因此X的分布列为,【迁移探究1】 用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.,解 由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则,因此X的分布列为,【迁移探究2】 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者
7、人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.,解 由题意知X可取的值为3，1，1，3，5，,因此X的分布列为,规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.,【训练2】 (2018天津卷节选)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2
8、)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列； 设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.,解 (1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人. (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.,所以，随机变量X的分布列为,设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人
9、，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥.由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，,考点三 求离散型随机变量的分布列 【例3】 (2019豫南九校联考改编)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.,(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数； (2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.,解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人， 送考2次的有100人，送考3次的有80人，,(2)从该公司任选两名司
10、机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，,由题意知X的所有可能取值为0，1，2，,X的分布列为,规律方法 求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.,【训练3】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其
11、区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.,(2)X的可能取值为200，300，400.,故X的分布列为,思维升华 1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率. 2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.,易错防范,掌握离散型随机变量的分布列，须注意： (1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误. (3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.,
