1、宿州市十三所重点中学2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1.命题“，使得”的否定是（ ）A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】【分析】结合题意，全称命题的否定是特称命题，注意结论也要否定即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故命题“，使得”的否定为：，使得故选：B.【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题；注意，条件不能否定.2.已知双曲线的两个焦点为和，则（ ）A. B. C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】化方程为标准
2、型，求出，即可求解.【详解】双曲线即为故故.故选：C.【点睛】本题考查由椭圆方程，求解焦距，属基础题.3.正方体不在同一侧面上的两顶点，则正方体外接球体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算两点之间的距离，再求其一半，即为外接球半径，代值即可计算.【详解】容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标故正方体外接球半径为故故选：A.【点睛】本题考查空间中两点之间距离的坐标运算，属基础题.4.下列命题中真命题的个数有（ ）；若命题是真命题，则是真命题；是奇函数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】分析】对于，整理得，即可判断其为真命题；对于，令，即可判断其
3、正确；对于，利用复合命题真假关系即可判断至少有一个为真命题，所以真假不能判断；对于，直接利用函数奇偶性定义判断其为真命题【详解】对于，恒成立，所以正确对于，当时，所以成立，所以正确对于，若命题真命题，则至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以错误对于，令，则，所以是奇函数，所以正确故选C【点睛】本题主要考查了命题真假判断，考查了全称、特称命题的真假判断及复合命题的真假关系，还考查了函数奇偶性判断，属于基础题5.已知空间向量，则向量与（）的夹角为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据数量积运算，结合的正负，求解对应的两个夹角.【详解】解得，代入得，又向量夹角范围：故的
4、夹角为，则与的夹角，当时为；时为.故选：B.【点睛】本题考查空间向量的数量积，以及向量夹角的求解，属基础题.6.对于实数，若：或；：，则是的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合命题，从充分性和必要性进行推理即可.【详解】因为若，则且是假命题，故其逆否：若或，则也是假命题故；因为且，则是真命题，故其逆否：若，则或是真命题故综上所述：是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查命题的充分性和必要性的判定，属基础题，利用逆否命题与原命题真假性一致，是关键思路.7.已知三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥最长棱为（
5、 ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图，还原几何体，求出最长的棱即可.【详解】根据题意，将几何体还原出来，为方便计算，将其放入长方体中，示意图如下：四面体即为所求三棱锥.由已知条件及勾股定理可知：BD=故最长的棱为.故选：C.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，属基础题.8.如图，四面体中，两两垂直，点是的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则点到平面的距离（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用线面角，解得长度，利用等体积法求解即可.【详解】根据题意因为，所以平面BCD故因为，可得平面，则在平面上的射影与在一条直线上，故直线与平面所成
6、角度即为在中：，故可得故，设点到平面的距离即整理得：解得故选：B.【点睛】本题考查线面垂直的判定，以及等体积法求点到面的距离，属综合题.9.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆.给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；当时，直线与黑色阴影部分有公共点；当时，直线与黑色阴影部分有两个公共点.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据图形的特征，以及直线与半圆的位置关系，对选项进
7、行逐一分析即可.【详解】对：根据图形的对称性，阴影部分面积占总面积的，故概率为，正确；对：根据题意，半圆在第一象限的方程为， 若直线与该曲线有公共点，则 ，解得，故正确；对：当时，直线与黑色阴影部分有无数个公共点，故错误；综上所述，正确.故选：B【点睛】本题考查几何概型概率的计算，直线方程的求解，直线与方程的位置关系讨论，属综合题.10.已知双曲线：与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】由的方程，可得渐近线斜率，求得，即可求解离心率.【详解】由方程：，可得对曲线：，故其渐近线斜率为：故，解得.故双曲线中：故离心率为.故选：D.【点
8、睛】本题考查双曲线的渐近线方程，离心率的计算和转换，属基础题易错题.11.如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线定义，将周长转化为同一条直线上线段的长度，进而求解范围.【详解】容易知，的周长为作出抛物线准线，过A作AH垂直于，垂足为H；如图所示由抛物线定义知：由圆方程可知：，故综上所述，的周长容易知，由图可知故，即周长范围为.故选：C.【点睛】本题考查利用抛物线的定义，求解周长范围问题，属抛物线定义基础题.12.已知，分别为椭圆：（）的左右焦点，若椭圆上存在四个不同的
9、点，满足的面积为，则椭圆的离心率的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据焦点三角形面积的最大值为，得到的范围，再构造函数求函数的值域即可.【详解】因为焦点三角形面积的最大值为，故只需，即即可满足题意.又易知，又综上则故选：B.【点睛】本题考查离心率取值范围的求解，其重点在于寻找到的范围.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.抛物线的焦点关于直线对称的点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用点关于直线的对称点的求解方法，求解即可.【详解】因为抛物线方程为，故其焦点坐标为，则其关于直线的对称点为故答案为：.【点睛】本题
10、考查点关于直线的对称点的求解，涉及抛物线焦点坐标的求解，属基础题.14.已知四面体的顶点分别为，则点到平面的距离_.【答案】【解析】【分析】计算出平面的法向量，则D与平面中任意一点构成的向量在法向量上的投影的绝对值即为点到平面的距离.【详解】根据已知可得：，设平面的法向量为，即取，又则点D到平面的距离为：故答案为：.【点睛】本题考查用向量法求解点到平面的距离，属基础题.15.曲线上的点到定直线：的距离和它到定点的距离的比是常数2，则该曲线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，列出等量关系，整理化简即可求得轨迹方程.【详解】曲线上的点到定直线：的距离为：点到定点的距离为：故可得两边平方得：
11、整理得：.故答案为：.【点睛】本题考查根据等量关系求解曲线的轨迹方程，一般遵循设点，列出等量关系，整理化简，检验的步骤即可.16.椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一个焦点，已知椭圆长轴长为，焦距为，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到该焦点所经过的路程为，则椭圆的离心率为_.【答案】或或【解析】【分析】分析出光线的三种路径，分别求解即可.【详解】依据椭圆的光学性质，光线从左焦点出发后，有以下三种可能：对第一种路径：，解得离心率对第二种路径：，解得离心率对第三种路径：，解得离心率故答案为：或或【点睛】本题考查椭圆的性质，重点是分析出其路径.
12、三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，1822小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知命题：方程表示双曲线；命题：，不等式恒成立.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围.（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）先求命题为真时，参数的范围，再求其补集即可；（2）由题可知，命题一真一假，故分别求解命题为真时参数的范围，再先交后并即可.【详解】（1）命题：，不等式恒成立得，解得由为真，故为假，则的取值范围是：或（2）由题意知命题：，得由（1）知命题：又为假，为真所以真假或假真则或解得的取值范围：或【
13、点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，属基础题；本题的易错点是容易对参数范围出现漏解的情况.18.已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可；（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.详解】设，由题可知：两两之间的夹角均为，且，（1）由所以即证.（2）由，又所以，又则又异面直线夹角范围为所以异面直线夹角的余弦值为.【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得
14、的好题，值得总结此类方法.19.若直线：与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合.【答案】【解析】【分析】对参数进行分类讨论，联立方程组，根据方程组根的个数确定交点个数.【详解】当时直线：与曲线恰有一个公共点当时，则若，则，此时与有一个公共点若，则得此时直线与曲线相切只有一个公共点综上：的取值集合为故答案为：.【点睛】本题考查直线与曲线交点个数的问题，用方程思想进行考虑，是处理问题的关键.20.已知椭圆：左右焦点分别为，（1）求过点且被点平分的弦的直线方程；（2）若过作直线与椭圆相交于，两点，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）涉及中点弦，用点差法进行处理；（2）设出直线方程
15、，根据向量相等得到的方程，求得直线方程，再求弦长.【详解】（1）设过点的直线与椭圆交于，两点则两式相减得由，则即直线斜率为所以直线方程为，故即为所求.（2）设过的直线为，设，则则，又则所以，代入得所以故.【点睛】本题考查椭圆中的中点弦问题，涉及韦达定理的利用，弦长的求解，属综合问题，经典例题.21.在如图所示的三棱柱中，平面，的中点为，若线段上存在一点使得平面.（1）求的长；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系的条件是成熟的，因此用向量法通过线面垂直来求解AB的长度；（2）由（1）可以知几何体上每个点的坐标，求出两个平面的法向量，通过向
16、量来求解.【详解】（1）由题意知，两两垂直.以点为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系设（）则，设，由题意 ， 所以故 设面的法向量为 则，所以，可得取 由面，则/得，所以.（2）由（1）得平面的一个法向量为 设平面的法向量为， 则可得取则向量的夹角大小为，又该二面角的平面角为锐角，故二面角所成角的大小为【点睛】本题考查用向量法求解二面角，涉及存在性问题找点，属典型向量法做法.22.已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.求证：不可能是钝角；是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标：否则，说明理由.【答案】（1）；（2）证明见详解；存在，.【解析】【分析】（1）设出E点的坐标，根据EF中点为M，MF的距离等于M点纵坐标的绝对值，整理化简即可求得；（2）将证明钝角的问题，转化为是否可以成立的问题，从而进行证明；假设存在这样的点，则C点到AB中点的距离等于，据此求解.【详解】（1）设，由在圆上，且点关于圆心的对称点为.故所以，则化简得，所以曲线的方程为（2）设直线：，所以，+1故不可能为钝角假设存在这样的点，设中点为由知由，故得所以又由，得所以存在点满足题意.【点睛】本题考查曲线方程的求解，涉及证明角度为钝角的转换，弦长的求解，属抛物线综合经典题型.
