1、2019年下学期高一数学期末质量检测试卷一.选择题：1.如果指数函数的图象经过点，则的值等于（ ）A. B. 2C. D. 16【答案】A【解析】【分析】由题意可设且，又指数函数的图象经过点，可得，再运算即可.【详解】解：由题意可设且，又指数函数的图象经过点，则，则 ，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数的概念，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.2. 2003年至2015年河北省电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规
2、律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升对于Aa0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a0时，为单调递减函数，不符合图象的特征对于B取a0，b0，可得满足条件的函数；对于C取a0，b0，可得满足条件的函数；对于Df（x）=ax2+bx+c，取a0，b2a0，可得满足条件的函数；考点：函数解析式的求解及常用方法3.已知点和点，且，则实数的值是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】试题分析：由题意得，解得或，故选D考点：向量的模的计算【点睛】请在此输入点睛！【详解】请在此输入详解！4.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下面四个命题： 若，则；若，则；若是两
3、条异面直线，则；若，则.其中正确的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：对于,若,m,n,则mn或异面，故错；对于,若m,n,m,n且m、n相交,则，故错；对于,若m,n是两条异面直线,若m,n,在平面内一定存在两条平行m、n的相交直线,由面面平行的判定可知，故正确；对于，如果m，m垂直平面内及与平行的直线，故mn，故正确；本题选择C选项.5.函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：令，则，而，所以.故选B.考点：函数的性质.【方法点睛】求函数值域的常用方法有：基本函数法、配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等，无论用什么方法
4、求函数的值域，都必须考虑函数的定义域；求函数的定义域就是使函数的表达式有意义得自变量的取值集合，可根据函数解析式有意义列出不等式（组）解之即得函数定义域.本题是求复合函数的值域，先通过换元将函数转化为指数函数，再根据单调性求解.属于基础题.6.直线过定点，若直线过点且与平行，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线方程可求得定点；根据直线平行求得直线斜率；利用点斜式方程求得方程，整理可得一般式方程.【详解】由得： 直线过定点又直线的斜率且与直线平行 直线斜率为直线的方程为：，即：本题正确选项：【点睛】本题考查直线方程的求解，关键是能够根据平行关系得到斜率，
5、利用直线一般式方程求得定点.7.已知函数在上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，求解即可【详解】若函数在上单调递减，则，解得.故选C.【点睛】本题考查分段函数的单调性严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值8.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性，结合特殊值法以及单调性进行排除，可得出正确选项.【详解】令，可得，则函数的定义域为，该函数为奇函数，排除B；当时
6、，排除C；当的值比较大时，可得函数的分子是增函数，但是没有分母增加地快，可知函数是减函数，排除D.故选：A.【点睛】本题考查函数图象识别，一般结合函数的奇偶性、单调性、特殊值、零点来逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率满足( )A. 或B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出三点的图像，根据的斜率，求得直线斜率的取值范围.【详解】如图所示，过点作直线轴交线段于点，作由直线直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为钝角，斜率的范围是.直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为锐角，斜率的范围是.因为
7、，所以直线的斜率满足或.故选A.【点睛】本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.10.集合，若的子集恰有4个，则的取值范围是（）A. (, )B. 2，）C. (, 2D. 2，）【答案】D【解析】【详解】由题意知，集合中的点在以原点为圆心，2为半径的圆的轴上方的半圆上，集合是与直线平行的一组直线，若有4个子集，则有两个元素，所以半圆与直线有两个公共点，由图形知由得，过(-2,0)点，则得,的取值范围是2，）,故选D.11.在三棱锥中，底面为边长为3的正三角形，侧棱底面，若三棱锥的外接球的体积为，则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C
8、. D. 【答案】C【解析】分析】如图，设外接球的球心为，过作，交于，过球心作平面于，则，且是的重心，求出，再求出，最后求出，最后得，三棱锥的体积.【详解】如图，设外接球的球心为.在三棱锥中，底面是边长为3的正三角形，侧棱底面，三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的外接球的半径.过作，交于，过球心作平面于，则，且是的重心，.到的距离为，该三棱锥的体积.【点睛】本题考查已知外接球体积，求三棱锥体积的问题，属于中档题，解题关键在于构造与外接球半径的相关的直角三角形，进而利用勾股定理求解12.若区间的长度定义为，函数的定义域和值域都是，则区间的最大长度为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 为
9、单调递增，所以为方程 两个不等的实根，即 ， ，选A点睛：二次函数零点与二次方程根相互转化，二次函数最值问题往往根据对称轴与定义区间位置进行讨论解决，配方法实际是确定对称轴.二、填空题：13.计算：_【答案】【解析】.故答案.点睛：（1）任何非零实数的零次幂等于1；（2）当，则；（3）.14.若直线与直线平行，则_【答案】【解析】【分析】由题意得到关于m的方程，解方程即可求得最终结果.【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：，解得：，此时两直线方程分别为：，两直线不重合，据此可知：.【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.如图，正四面体的顶
10、点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】当四边形ABOC为平面四边形时，点A到点O的距离最大此时平面ABOC平面，过D作DN平面ABOC，垂足为N，则N为正三角形ABC的中心设正四面体的边长为1,则，BCO=15,BCP=30,OCN=45，N到平面的距离.过D作DM平面,垂足为M,则，直线CD与平面所成角的正弦值为.16.定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是_.（1） （2）（3） （4）【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】利用特征函数的定义知：
11、（1）由，对与、关系分类讨论，可得（1）正确；利用特征函数的定义可判断（2）的正误；取特殊值情况，利用定义可判断（3）的正误；利用集合运算与函数运算可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】（1），分类讨论：当，则，此时；当，且，即，此时；当，且，即时，此时.综合有，故（1）正确；（2），故（2）正确；（3）假设，任取，则，则，但，则，故（3）不正确；（4），故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）.【点睛】本题考查子集与交集、并集运算的转换及应用，解题时要认真审题，注意特征函数的定义的灵活运用三.解答题：17.已知函数定义域为.（1）求；（2）当时，求的值域.【答案】（1）;（2）.【解
12、析】（1）由已知可得，所以.（2），所以当，即时，当，即时，所以的值域为.18.为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，经测量，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.【答案】点到的距离为时，才能使草坪的占地面积最大，最大值为.【解析】【分析】如图，先以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得直线的方程，再设出坐标，由矩形面积公式建立模型，然后利用二次函数的基本性质求其最值【详解】如图，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，.所以直线的方程为：，即，设，则矩形的面积为， 化简，得，配方，易得当，时，
13、最大，其最大值为.【点睛】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想19.已知方程x2y22x4ym0(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程【答案】（1）m5；（2）；（3）【解析】【详解】（1）由，得：，；（2）由题意，把代入，得，得出：，；（3）圆心为，半径，圆的方程.考点：直线与圆的位置关系.20.如图,已知三棱柱的侧棱垂直于底面,点分别是和的中点.(1)证明：平面；(2)设,当为
14、何值时,平面,试证明你的结论.【答案】（）证明见解析（）时，【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.试题解析：（）取得中点,连接,因为分别为和的中点，所以又因为,所以, 5分所以,因为平面 ,所以； 6分（）连接,设，则，由题意知因为三棱柱侧棱垂直于底面,所以,因为,点是的中点，所以, 9分要使，只需即可，
15、所以,即，则时，. 12分考点：证明线面平行及寻求线面垂直21.定义在上的函数满足：对任意实数、，总有，且当时，.（1）判断的单调性；（2）设，若，试确定的取值范围.【答案】（1）减函数，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先令，求出，再令得出，进而得出当时，由此得出对任意的，然后任取，利用单调性的定义结合等式即可证明出函数在上的单调性；（2）由题意可知，集合表示一个以原点为圆心、半径等于的圆面（不包含边界），集合表示一条过点的直线根据圆和直线相切或相离，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】（1）先令，则，由题意得，令，则，设，则，则，所以.由上可知，对任意的，.任取、且，则，此时
16、，则，因此，函数在上为减函数；（2）表示一个以原点为圆心、半径等于的圆面（不包含边界），表示一条过点的直线.，则圆和直线相切或相离，故有，整理得，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题22.已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.（2）因
17、为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为为偶函数，所以，即对于任意恒成立.于是恒成立,而不恒为零，所以. （2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为，由，则，所以的取值范围是. （3）由题意知方程有且只有一个实数根令，则关于的方程(记为(*)有且只有一个正根.若，则，不合题意, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或；但，不合题意，舍去；而；若方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是 考点：1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.
