1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙)理科一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2021全国乙理1)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i命题意图 本题主要考查复数的基本运算,利用待定系数法建立方程是解决本题的关键,是基础题.解析 C设z=x+yi(x,yR),则z=x-yi,2(z+z)+3(z-z)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.2.(2021全国乙理2)已知集合S=s|s=2n+1,nZ,T=t|t=4n+1,nZ,则ST=()
2、A.B.SC.TD.Z命题意图 本题主要考查集合的基本运算,考查数学运算能力.解析 C当n=2k,kZ时,S=s|s=4k+1,kZ=T;当n=2k+1,kZ时,S=s|s=4k+3,kZ,得TS,故ST=T.3.(2021全国乙理3)已知命题p:xR,sin x1;命题q:xR,e|x|1,则下列命题中为真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.(pq)命题意图 本题主要考查简易逻辑,考查逻辑推理能力.解析 A因为当x2k+2(kZ)时,sin x74的概率.画出可行域(如图阴影部分),故P=11-12343411=1-932=23
3、32.9.(2021全国乙理9)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=()A.表高表距表目距的差+表高B.表高表距表目距的差-表高C.表高表距表目距的差+表距D.表高表距表目距的差-表距命题意图 本题考查了直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.解析 A如图,连接FD并延长交AB于点M,则FMAB,AB=AM+BM.设BDM=,BFM=,则BHE
4、=,FCG=,DF=MF-MD=MBtan-MBtan=MB1tan-1tan=MBGCFG-EHED=MBGC-EHED,MB=DFDEGC-EH=EGDEGC-EH=表距表高表目距的差,AB=表高表距表目距的差+表高.10.(2021全国乙理10)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则()A.abC.aba2命题意图 本题主要考查函数的极值,考查了逻辑推理、数学运算能力.解析 D因为f(x)=a(x-a)2(x-b),所以f(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)(2x-2b)+(x-a) =a(x-a)3x-(a+2b)=3a(x-a
5、)x-a+2b3.由f(x)=0,解得x=a或x=a+2b3.若a0,则由x=a为函数f(x)的极大值点,可得a+2b3a,化简得ba.此时在区间-,a+2b3和(a,+)内,f(x)0,函数f(x)单调递增.此时a(a-b)0,即a20,则由x=a为函数的极大值点可得aa+2b3,化简得a0,函数f(x)单调递增;在区间a,a+2b3内,f(x)0,函数f(x)单调递减.此时a(a-b)0,即a2ab.综上可得a2b0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|2b,则C的离心率的取值范围是()A.22,1B.12,1C.0,22D.0,12命题意图 本题考查了椭圆的方程和性质,考查了运算求
6、解能力和转化与化归思想,属于中档题.解析 C由题意,点B(0,b).设P(x0,y0),则x02a2+y02b2=1,得x02=a21-y02b2,|PB|2=x02+(y0-b)2=a21-y02b2+y02-2by0+b2=-c2b2y02-2by0+a2+b2,y0-b,b.由题意知当y0=-b时|PB|2最大,-b3c2-b,得b2c2,即a2-c2c2,离心率e=ca22,即e0,22.12.(2021全国乙理12)设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=1.04-1,则()A.abcB.bcaC.bacD.caln 1.02=b,排除A,D.令f(x)=ln(1+x)-(1
7、+2x-1),x0,则f(0.02)=ln 1.02-(1.04-1)=b-c.f(x)=11+x-221+2x=1+2x-(1+x)(1+x)1+2x,当x0时,1+x=(1+x)2=1+2x+x21+2x,f(x)0,且f(x)不恒为0.f(x)在区间0,+)上单调递减,f(0.02)f(0)=0,即b-c0bc.令g(x)=2ln(1+x)-(1+4x-1),x0,则g(0.01)=2ln 1.01-(1.04-1)=a-c.g(x)=21+x-421+4x=21+4x-(1+x)(1+x)1+4x,当0xg(0)=0,即a-c0,ac.综上可得,acb.选B.二、填空题:本题共4小题,
8、每小题5分,共20分。13.(2021全国乙理13)已知双曲线C:x2m-y2=1(m0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.命题意图 本题考查双曲线的几何性质,涉及双曲线的渐近线方程的分析,考查分析问题、数学运算能力,属于基础题.解析 4由双曲线方程可知其渐近线方程为xmy=0,即y=1m x,得-3m=-1m,解得m=3.可得C的焦距为2m+1=4.14.(2021全国乙理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-b)b,则=.命题意图 本题主要考查数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,考查方程思想与运算求解能力,属于基础题.解析 35由已知得,a-b=(1-3,3-4
9、),由(a-b)b,得3(1-3)+4(3-4)=0,即15-25=0,解得=35.规律总结 1.巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.15.(2021全国乙理15)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60,a2+c2=3ac,则b=.命题意图 本题主要考查正弦定理、余弦定理,考查数学运算、逻辑推理能力.解析 22由题意可知ABC的面积S=12acsin 60=3,整
10、理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-24cos 60=8,所以b=22.16.(2021全国乙理16)以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).图图图图图命题意图 本题主要考查三视图,考查直观想象、逻辑推理能力.解析 或根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据,侧视图只能是或.若侧视图为,如图(1),平面PBC平面ABC,ABC为等腰三角形(BC为底边),俯视图为;(1)若侧视图为,如图(2),PB平面ABC,AB=
11、BC,俯视图为.(2)解题方法 画三视图的三个规则:(1)画法规则:“长对正、宽相等、高平齐”.(2)摆放规则:侧视图在正视图的右侧,俯视图在正视图的正下方.(3)实虚线的画法规则:可见轮廓线和棱用实线画出,不可见的线和棱用虚线画出.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(2021全国乙理17)(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设
12、备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s12和s22.(1)求x,y,s12,s22;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果y-x2s12+s2210,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.命题意图 本题考查了样本特征数的计算,解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,考查了运算能力,属于基础题.解 (1)由题中数据可得,x=110(
13、9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,s12=110(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2+(10.0-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2=0.036;s22=110(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3
14、)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2=0.04.(2)因为y-x=10.3-10=0.3,2s12+s2210=20.036+0.0410=20.007 60.174,所以y-x2s12+s2210,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.(2021全国乙理18)(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PBAM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.命题意图 本题考查空间距离、二面角,考查了直观想象、逻辑推理
15、的能力.解 (1)连接BD.PD底面ABCD,AM底面ABCD,PDAM.PBAM,PBPD=P,AM平面PBD,AMBD,ADB+DAM=90.又DAM+MAB=90,ADB=MAB,RtDABRtABM,ADAB=BABM,12BC2=1,BC=2.(2)如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),AP=(-2,0,1),AM=-22,1,0,BM=-22,0,0,BP=(-2,-1,1).设平面AMP的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则mAP=0,mAM=0,即-2x1+z
16、1=0,-22x1+y1=0,令x1=2,则y1=1,z1=2,可得m=(2,1,2).设平面BMP的一个法向量为n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1).则cos=mn|m|n|=372=31414.设二面角A-PM-B的平面角为,则sin =1-cos2=1-914=7014.19.(2021全国乙理19)(12分)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项积.已知2Sn+1bn=2.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求an的通项公式.命题意图 本题考查数列的递推公式,等差数列的判定,数列通项公式,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.(1)证明 当n=1时
17、,b1=S1,易得b1=32.当n2时,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1bn=2消去Sn,得2bn-1bn+1bn=2,化简得bn-bn-1=12.故bn是以32为首项,12为公差的等差数列.(2)解 易得a1=S1=b1=32.由(1)可得bn=n+22,由2Sn+1bn=2可得Sn=n+2n+1.当n2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1),显然a1不满足该式.故an=32,n=1,-1n(n+1),n2.20.(2021全国乙理20)(12分)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;(2)设函数g(x)=x+f(x
18、)xf(x),证明:g(x)1.命题意图 本题考查了导数的综合应用,主要考查了利用导数研究函数的极值问题,利用导数证明不等式问题,此类问题经常构造函数,转化为证明函数的取值范围问题,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于难题.(1)解 由题意,f(x)的定义域为(-,a).令p(x)=xf(x),则p(x)=xln(a-x),x(-,a),p(x)=ln(a-x)+x-1a-x=ln(a-x)+-xa-x.因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有p(0)=0,即ln a=0,所以a=1.当a=1时,p(x)=ln(1-x)+-x1-x,且p(0)=0,当x0,当0x1时,p(x)0,所以当
19、a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点.(2)证明 由(1)可知,xf(x)=xln(1-x),要证x+f(x)xf(x)1,即需证明x+ln(1-x)xln(1-x)1.因为当x(-,0)时,xln(1-x)0,当x(0,1)时,xln(1-x)xln(1-x),即x+(1-x)ln(1-x)0.令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x1,则h(x)=(1-x)-11-x+1-ln(1-x)=-ln(1-x),所以h(0)=0,当x(-,0)时,h(x)0,所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,所以当x(-,0)(0,1)时,h(x)h(0)=0,即x+ln(1-
20、x)xln(1-x),所以x+ln(1-x)xln(1-x)1,所以x+f(x)xf(x)0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB面积的最大值.命题意图 本题考查圆锥曲线的综合运用,考查直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.解 (1)点F0,p2到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=4,解得p=2.(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即y=14x2,则y=12x.设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得直线lPA:y=x12x-x1
21、24,直线lPB:y=x22x-x224,从而得到Px1+x22,x1x24,设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,=16k2+16b0,即k2+b0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,P(2k,-b).|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216k2+16b,点P到直线AB的距离d=|2k2+2b|k2+1,SPAB=12|AB|d=4(k2+b)32,又点P(2k,-b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故k2=1-(b-4)24,代入得,SPAB=4-b2+12b-15432,而yP=-b-5,-3,当b=5时,(SPAB
22、)max=205.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.(2021全国乙理22)选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为C(2,1),半径为1.(1)写出C的一个参数方程;(2)过点F(4,1)作C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.命题意图 本题主要考查圆的参数方程,直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查运算求解能力,属于基础题.解 (1)C的参数方程为x=2+cos,y=1+sin(为参数).(2)C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=1.当直线
23、斜率不存在时,直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离d=2,有dr(r为圆C的半径),不合题意,舍去;当直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-4),化简得kx-y-4k+1=0,此时圆心C(2,1)到直线的距离d=|2k-1-4k+1|k2+1=|2k|k2+1,由d=r=1,得2|k|=k2+1,两边平方得4k2=k2+1,解得k=33.代入直线方程并化简得x-3y+3-4=0或x+3y-3-4=0,化为极坐标方程为cos -3sin =4-3或cos +3sin =4+3.23.(2021全国乙理23)选修45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a
24、=1时,求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x)-a,求a的取值范围.命题意图 本题主要考查绝对值不等式的解法,考查运算求解能力,属于基础题.解 (1)当a=1时,由f(x)6可得|x-1|+|x+3|6.当x-3时,不等式可化为1-x-x-36,解得x-4;当-3x-a,则f(x)min-a.因为f(x)=|x-a|+|x+3|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)0时,等号成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|-a,即a+3-a,解得a-32,+.故a的取值范围为-32,+.2021年全国乙卷理科数学查缺补漏表题型题号考查要点学科能力学科素养查
25、缺补漏选择题1复数的加减法运算、共轭复数运算求解能力数学运算2集合的基本关系(真包含)和基本运算(交集)运算求解能力数学运算3命题的真假和逻辑联结词推理论证能力、运算求解能力数学运算、逻辑推理4函数的奇偶性及图像平移变换运算求解能力数学运算5正方体中异面直线所成的角空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算6有限制条件的排列组合问题推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算7三角函数图像的平移变换运算求解能力、推理论证能力数学运算、逻辑推理8几何概型抽象概括能力、运算求解能力直观想象、数学运算9解三角形及数学文化运算求解能力、创新能力数学运算10函数的极值运算求解能力数学运算11椭圆的性质
26、(定点和离心率)推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算12构造函数比较大小运算求解能力、创新能力数学运算、数学建模填空题13双曲线的几何性质(渐近线和焦距)运算求解能力数学运算14平面向量坐标运算运算求解能力数学运算15应用正弦定理、余弦定理解三角形运算求解能力数学运算16三视图空间想象能力、抽象概括能力直观想象续表题型题号考查要点学科能力学科素养查缺补漏解答题17平均数、方差的求解及应用数据处理能力、运算求解能力数学运算18空间线线、线面垂直的性质、二面角空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算19由an与Sn的关系式求数列的通项公式、等差数列的证明运算求解能力数学运算20应用导数
27、研究函数的单调性和极值、导数与不等式的证明推理论证能力、运算求解能力数学抽象、逻辑推理、数学运算21抛物线的简单几何性质、抛物线与圆、抛物线与直线运算求解能力逻辑推理、数学运算22极坐标与参数方程运算求解能力数学运算23绝对值不等式的解法、恒成立问题、分类讨论思想运算求解能力数学运算、逻辑推理【试卷评析】2021年全国乙卷理科数学,突出对基础知识(约占50%)以及主干内容的考查,如函数与导数(27分),立体几何(22分),解析几何(22分),概率统计(17分),三角函数与解三角形(15分)、数列(12分).试题落实高考内容改革总体要求,贯彻德智体美劳全面发展的教育方针,聚焦核心素养,突出关键能力考查,体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用.试题突出数学本质,重视理性思维,坚持素养导向、能力为重的命题原则;倡导理论联系实际、学以致用,关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果,设计真实问题情境,体现数学的应用价值,如第6题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景,考查逻辑推理能力和运算求解能力;第9题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作海岛算经中的测量方法为背景,考查考生综合运用知识解决问题的能力,让考生充分感受到我国古代数学家的聪明才智.
