1、绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(本试卷共8页,20小题,满分160分,考试用时100分钟)数学试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1.已知集合A=-1,0,1,2,B=0,2,3,则AB=.2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是.3.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.5.下图是一个算法流程图.若输出y的值为-2,则输入x的值是.6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y
2、25=1(a0)的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是.7.已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是.8.已知sin24+=23,则sin 2的值是.9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.10.将函数y=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.11.设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列.已知数列an+bn的前n项和Sn=n2-n+2n-1(nN*),则d+q的
3、值是.12.已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是.13.在ABC中,AB=4,AC=3,BAC=90,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+32-mPC(m为常数),则CD的长度是.14.在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满足PA=PB,则PAB面积的最大值是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,B1C平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF平面
4、AB1C1;(2)求证:平面AB1C平面ABB1.16.(14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC的值.17.(14分)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.
5、已知点B到OO的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?18.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.(1)求AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求OPQP的最小值;(3)设点M在椭圆E上,记OAB与MAB的
6、面积分别为S1,S2.若S2=3S1,求点M的坐标.19.(16分)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,bR)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x).(1)若f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-,+),求h(x)的表达式;(2)若f(x)=x2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k, D=(0,+),求k的取值范围;(3)若f(x)=x4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(00,求数列an的通项公式;(3)对于给定的,是否存在三个不同的数列an为“3”数列,且an0?若存在,求的取值范围;若不
7、存在,说明理由.数学(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2:矩阵与变换(10分)平面上点A(2,-1)在矩阵M=a1-1b对应的变换作用下得到点B(3,-4).(1)求实数a,b的值;(2)求矩阵M的逆矩阵M-1.B.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,已知点A1,3在直线l:cos =2上,点B2,6在圆C:=4sin 上(其中0,02).(1)求1,2的值;(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标.C.选修4-5:不等式选讲(10分
8、)设xR,解不等式2|x+1|+|x|0时,y=2x1,所以x0不符合题意.当输入的x0时,y=x+1,由输出y的值为-2,得x+1=-2,x=-3.6.32本题考查双曲线的渐近线方程.由双曲线x2a2-y25=1(a0),得其渐近线方程为y=5ax,又因为其中一条为y=52x,所以a=2.所以c2=a2+b2=4+5=9,所以c=3.则离心率e=ca=32.7.-4本题考查奇函数的定义和性质.y=f(x)是奇函数,f(-8)=-f(8)=-823=-4.8.13本题考查三角函数的倍角公式.cos2+2=1-2sin24+=1-223=-13.又cos2+2=-sin 2,sin 2=13.9
9、.123-2本题考查棱柱和圆柱的体积.底面正六边形的面积S正六边形=61222sin60=63,圆柱底面圆的面积S圆=122=4,六角螺帽毛坯的体积V=63-42=123-2.10.x=-524本题考查三角函数图象的平移变换和性质.将函数y=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度后得到函数y=3sin2x-6+4=3sin2x-12的图象.由2x-12=2+k,kZ,得平移后的对称轴的方程为x=724+k2,kZ.当k=0时,x=724,当k=-1时,x=-524.所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-524.11.4本题考查等差数列、等比数列的前n项和.由等差数列的前n项和公式和等比数列的
10、前n项和公式得Sn=na1+n(n-1)2d+b1(1-qn)1-q=d2n2+a1-d2n+-b11-qqn+b11-q.对照已知条件Sn=n2-n+2n-1,得d=2,q=2,所以d+q=4.12.45本题考查均值不等式.由5x2y2+y4=1,得x2=151y2-y2.所以x2+y2=151y2-15y2+y2=15y2+45y22425=45.当15y2=45y2,即y2=12,x2=310时,上式取等号,所以x2+y2的最小值为45.13.185或0如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则B(4,0),C(0,3).由PA=mPB+32-mPC
11、,得PA=m(PA+AB)+32-m(PA+AC),整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).又AP=9,所以64m2+(6m-9)2=81,解得m=2725或m=0.当m=0时,PA=(0,-9),此时,C,D重合,CD=0;当m=2725时,直线PA的方程为y=9-6m8mx,直线BC的方程为x4+y3=1,联立两直线方程可得x=83m,y=3-2m.即D7225,2125,CD=72252+2125-32=185.CD的长度是185或0.14.105本题考查圆与直线的位置关系.如图,由已知,得C0,12,CP=1,ABCP.
12、设过点P的直径为EF,AB与EF相交于点D,设CD=d.(1)当点D与P在圆心C的异侧时,SPAB=12236-d2(1+d)=(36-d2)(1+d)2(0d6).设f(d)=(36-d2)(1+d)2,则f(d)=-2d(d+1)2+2(36-d2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9).所以f(d)在区间0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,所以当d=4时,f(d)取得最大值f(4)=500,此时,SPAB=105.(2)当点D与P在圆心C的同侧时,当点D在点C,P之间时,PAB的高为1-d;当D在CP的延长线上时,PAB的高为d-1.根据圆的对称性,当AB与(1)中
13、相等时,相应的高都小于(1)中AB对应的高,所以相应PAB的面积也小.综上,PAB面积的最大值是105.15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明 (1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EFAB1.又EF平面AB1C1,AB1平面AB1C1,所以EF平面AB1C1.(2)因为B1C平面ABC,AB平面ABC,所以B1CAB.又ABAC,B1C平面AB1C,AC平面AB1C,B1CAC=C,所以AB平面AB1C.又因为AB平面ABB1,所以平面AB1C平面ABB1.16.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同
14、角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识,考查运算求解能力.满分14分.解 (1)在ABC中,因为a=3,c=2,B=45,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=9+2-232cos 45=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得5sin45=2sinC,所以sin C=55.(2)在ADC中,因为cos ADC=-45,所以ADC为钝角,而ADC+C+CAD=180,所以C为锐角.故cos C=1-sin2C=255,则tan C=sinCcosC=12.因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinA
15、DCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADCtanC=-34+121-3412=211.17.本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解 (1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当OB=40时,BB1=-1800403+640=160,则AA1=160.由140OA2=160,得OA=80.所以AB=OA+OB=80+40=120(米).(2)以O为原点,
16、OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x(0,40),则y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800x3-6x.因为CE=80,所以OC=80-x.设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k160+1800x3-6x+32k-140x2+4x=k1800x3-380x2+160(0x0,所以(1+k)2-4(1+k)0,解得-1k3.因此,k的取值范围是0k3.(3)证明 当1t2时,由g(x)h(x),得4x2
17、-84(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-840.(*)令=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则=t6-5t4+3t2+8.记(t)=t6-5t4+3t2+8(1t2),则(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)0恒成立,所以(t)在1,2上是减函数,则(2)(t)(1),即2(t)7.所以不等式(*)有解,设解为x1xx2,因此n-mx2-x1=7.当0t1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-
18、1),令v(t)=0,得t=33.当t0,33时,v(t)0,v(t)是增函数.v(0)=-1,v(1)=0,则当0t1时,v(t)0.(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)0.)则f(-1)-h(-1)0,因此-1(m,n).因为m,n-2,2,所以n-m2+17.当-2t0,所以Sn+1Sn0,则Sn+1Sn-1=33Sn+1Sn-1.令Sn+1Sn=bn,则bn-1=33bn2-1,即(bn-1)2=13(bn2-1)(bn1).解得bn=2,即Sn+1Sn=2,也即Sn+1Sn=4,所以数列Sn是公比为4的等比数列.因为S1=a1=1,所以Sn=4n-1.则an=1(n=
19、1),34n-2(n2).(3)设各项非负的数列an(nN*)为“3”数列,则Sn+113-Sn13=an+113,即3Sn+1-3Sn=3Sn+1-Sn.因为an0,而a1=1,所以Sn+1Sn0,则3Sn+1Sn-1=3Sn+1Sn-1.令3Sn+1Sn=cn,则cn-1=3cn3-1(cn1),即(cn-1)3=3(cn3-1)(cn1).(*)若0或=1,则(*)只有一解为cn=1,即符合条件的数列an只有一个.(此数列为1,0,0,0,)若1,则(*)化为(cn-1)cn2+3+23-1cn+1=0,因为cn1,所以cn2+3+23-1cn+10,则(*)只有一解为cn=1,即符合条
20、件的数列an只有一个.(此数列为1,0,0,0,)若01,则cn2+3+23-1cn+1=0的两根分别在(0,1)与(1,+)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t).所以Sn+1=Sn或Sn+1=t3Sn.由于数列Sn从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列Sn有无数多个,则对应的an有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列an为“3”数列,的取值范围是01.21.【选做题】A.选修4-2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解 (1)因为a1-1b2-1=3-4,所以2a-1=3,-2
21、-b=-4.解得a=b=2,所以M=21-12.(2)因为M=21-12,det(M)=22-1(-1)=50,所以M可逆,从而M-1=25-151525.B.选修4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解 (1)由1cos3=2,得1=4;2=4sin6=2,又(0,0)即0,6也在圆C上,因此2=2或0.(2)由cos=2,=4sin,得4sin cos =2,所以sin 2=1.因为0,00时,原不等式可化为2x+2+x4,解得0x23;当-1x0时,原不等式可化为2x+2-x4,解得-1x0;当x-1时,原不等式可化为-2x-2-
22、x4,解得-2x-1.综上,原不等式的解集为x-2x23.22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力.满分10分.解 (1)连接OC,因为CB=CD,O为BD中点,所以COBD.又AO平面BCD,所以AOOB,AOOC.以OB,OC,OA为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为BD=2,CB=CD=5,AO=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因为E为AC的中点,所以E(0,1,1).则AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以|cos|=|ABDE|AB|DE|=|1+0-2
23、|53=1515.因此,直线AB与DE所成角的余弦值为1515.(2)因为点F在BC上,BF=14BC,BC=(-1,2,0).所以BF=14BC=-14,12,0.又DB=(2,0,0),故DF=DB+BF=74,12,0.设n1=(x1,y1,z1)为平面DEF的一个法向量,则DEn1=0,DFn1=0,即x1+y1+z1=0,74x1+12y1=0,取x1=2,得y1=-7,z1=5,所以n1=(2,-7,5).设n2=(x2,y2,z2)为平面DEC的一个法向量,又DC=(1,2,0),则DEn2=0,DCn2=0,即x2+y2+z2=0,x2+2y2=0,取x2=2,得y2=-1,z
24、2=-1,所以n2=(2,-1,-1).故|cos |=|n1n2|n1|n2|=|4+7-5|786=1313.所以sin =1-cos2=23913.23.【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解 (1)p1=C11C31C31C31=13,q1=C21C31C31C31=23,p2=C11C31C31C31p1+C21C31C11C31q1+0(1-p1-q1)=13p1+29q1=727,q2=C21C31C31C31p1+C21C31C21C31+C11C31C11C31q1+C31C31C21C31(1-p1-q1)=-
25、19q1+23=1627.(2)当n2时,pn=C11C31C31C31pn-1+C21C31C11C31qn-1+0(1-pn-1-qn-1)=13pn-1+29qn-1,qn=C21C31C31C31pn-1+C21C31C21C31+C11C31C11C31qn-1+C31C31C21C31(1-pn-1-qn-1)=-19qn-1+23,2+,得2pn+qn=23pn-1+49qn-1-19qn-1+23=13(2pn-1+qn-1)+23.从而2pn+qn-1=13(2pn-1+qn-1-1),又2p1+q1-1=13,所以2pn+qn=1+1313n-1=1+13n,nN*.由,有qn-35=-19qn-1-35,又q1-35=115,所以qn=115-19n-1+35,nN*.由,有pn=121+13n-qn=310-19n+1213n+15,nN*.故1-pn-qn=310-19n-1213n+15,nN*.Xn的概率分布Xn012P1-pn-qnqnpn则E(Xn)=0(1-pn-qn)+1qn+2pn=1+13n,nN*.
