1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).圆柱的体积公式V=Sh.其中S表示圆柱的底面面积,h表示圆柱的高.圆锥的体积公式V=13Sh.其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014天津,文1)i是虚数单位,复数7+i3+4i=().A.1-iB.-1+iC.1725+3125iD.-177+257i答案:A解析:7+i3+4i=(7+i)(3-4i)
2、(3+4i)(3-4i)=21-28i+3i+425=1-i.2.(2014天津,文2)设变量x,y满足约束条件x+y-20,x-y-20,y1,则目标函数z=x+2y的最小值为().A.2B.3C.4D.5答案:B解析:作出约束条件的可行域如图中阴影所示.z=x+2y,y=-12x+12z.直线y=-12x+12z在y轴上的截距越小,z就越小.作直线l0:x+2y=0,平移l0,当过A点时,直线y=-12x+12z在y轴上的截距最小.由y=1,x+y-2=0,解得A(1,1),zmin=1+21=3.3.(2014天津,文3)已知命题p:x0,总有(x+1)ex1,则p为
3、().A.x00,使得(x0+1)ex01B.x00,使得(x0+1)ex01C.x0,总有(x+1)ex1D.x0,总有(x+1)ex1答案:B解析:由全称命题xM,p(x)的否定为x0M,p(x),可得p:x00,使得(x0+1)ex01.故选B.4.(2014天津,文4)设a=log2,b=log12,c=-2,则().A.abcB.bacC.acbD.cba答案:C解析:a=log2log22=1,b=log12cb.故选C.5.(2014天津,文5)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1
4、=().A.2B.-2C.12D.-12答案:D解析:由题意知S22=S1S4,则(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-12.故选D.6.(2014天津,文6)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为().A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1答案:A解析:由双曲线方程可得其渐近线方程为y=bax.一条渐近线平行于直线y=2x+10,ba=2.对直线y=2x+10,令y=0,解得x=-5.由题意知c=5.又a2+b
5、2=c2,联立,解得a2=5,b2=20,所求双曲线的方程为x25-y220=1.故选A.7.(2014天津,文7)如图,ABC是圆的内接三角形,BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:BD平分CBF;FB2=FDFA;AECE=BEDE;AFBD=ABBF.则所有正确结论的序号是().A.B.C.D.答案:D解析:如右图,在圆中,1与3所对的弧相同,1=3.又BF为圆的切线,则2=4.又AD为BAC的平分线,1=2.3=4.BD平分CBF.故正确.在BFD和AFB中,F为公共角,且4=2,BFDAFB.BFAF=DFBF
6、=BDAB.BF2=AFDF,BFAB=BDAF.故正确,正确.由相交弦定理可知不正确,故选D.8.(2014天津,文8)已知函数f(x)=3sin x+cos x(0),xR.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为3,则f(x)的最小正周期为().A.2B.23C.D.2答案:C解析:f(x)=3sin x+cos x=2sinx+6.设距离最小的相邻两交点的横坐标分别为x1,x2,且x10,若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为.答案:(1,2)解析:分别作出函数y=f(x)与y=a|x|的图象,由图知,a0.当x0,a2时,函数y=f(x
7、)与y=a|x|有一个交点;当x0,0a2时,函数y=f(x)与y=a|x|有两个交点;当x0时,若y=-ax与y=-x2-5x-4(-4x-1)相切,则由=0得a=1或a=9(舍).因此当x1时,函数y=f(x)与y=a|x|有两个交点;当x0,a=1时,函数y=f(x)与y=a|x|有三个交点;当x0,0a1时,函数y=f(x)与y=a|x|有四个交点.所以当且仅当1ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF
8、2|=22.求椭圆的方程.分析:(1)由条件求出|AB|,|F1F2|,用a,b,c表示,结合平方关系,求出离心率e=ca的值.(2)利用(1)中离心率的值,可将椭圆方程中a2,b2用c2表示,设出P点坐标(x0,y0),表示出F1P,F1B,利用以线段PB为直径的圆过点F1,可得F1PF1B=0,得出x0,y0的关系,结合P在椭圆上,解出x0,y0用c表示.从而求出圆心、半径,并用c表示,再利用l与圆相切及|MF2|=22,结合勾股定理求出c,得椭圆方程.解:(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则c2a2=12.
9、所以,椭圆的离心率e=22.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).由已知,有F1PF1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.因为点P在椭圆上,故x022c2+y02c2=1.由和可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c,代入得y0=c3,即点P的坐标为-4c3,c3.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1
10、-c)2=53c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=22,故有c+23c2+0-23c2=8+59c2,解得c2=3.所以,所求椭圆的方程为x26+y23=1.19.(本小题满分14分)(2014天津,文19)已知函数f(x)=x2-23ax3(a0),xR.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1(2,+),都存在x2(1,+),使得f(x1)f(x2)=1.求a的取值范围.分析:(1)第一步:求导,解f(x)=0的根,第二步:列表,判断函数f(x)的单调性求出极值,第三步:结论.(2)设集合A=f(x)|x(2,+),B=1f(x)x(1,+),f(
11、x)0,则可将已知条件转化为AB的问题.由(1)知f(x)=0的根为x=32a,再讨论32a与1,2的大小关系,进而分三种情况分别讨论“AB”是否成立,求出a的范围.解:(1)由已知,有f(x)=2x-2ax2(a0).令f(x)=0,解得x=0或x=1a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)00,1a1a1a,+f(x)-0+0-f(x)013a2所以,f(x)的单调递增区间是0,1a;单调递减区间是(-,0),1a,+.当x=0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=1a时,f(x)有极大值,且极大值f1a=13a2.(2)由f(0)=f32a=0及(1)
12、知,当x0,32a时,f(x)0;当x32a,+时,f(x)2,即0a34时,由f32a=0可知,0A,而0B,所以A不是B的子集.当132a2,即34a32时,有f(2)0,且此时f(x)在(2,+)上单调递减,故A=(-,f(2),因而A(-,0);由f(1)0,有f(x)在(1,+)上的取值范围包含(-,0),则(-,0)B,所以,AB.当32a32时,有f(1)0,且此时f(x)在(1,+)上单调递减,故B=1f(1),0,A=(-,f(2),所以A不是B的子集.综上,a的取值范围是34,32.20.(本小题满分14分)(2014天津,文20)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合
13、M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n.证明:若anbn,则st.分析:(1)先由已知写出M,及描述法的集合A,再对xi值的情况讨论,写出A的列举法表示.(2)证明st,可用作差法,即判断s-t0.作差后利用放缩法,将差式转化为等比数列求和判断差的符号.(1)解:当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)证明:由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=(q-1)(1-qn-1)1-q-qn-1=-10.所以,st.
