1、2015年普通高等学校招生全国统一考试天津理科数学本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷1至3页,第卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).如果事件A,B相
2、互独立,那么P(AB)=P(A)P(B).柱体的体积公式V=Sh,其中S表示柱体的底面面积,h表示柱体的高.锥体的体积公式V=13Sh,其中S表示锥体的底面面积,h表示锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015天津,理1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合A=2,3,5,6,集合B=1,3,4,6,7,则集合AUB=()A.2,5B.3,6C.2,5,6D.2,3,5,6,8答案:A解析:由题意可知UB=2,5,8,则AUB=2,5.故选A.2.(2015天津,理2)设变量x,y满足约束条件x+2
3、0,x-y+30,2x+y-30,则目标函数z=x+6y的最大值为()A.3B.4C.18D.40答案:C解析:画出题中约束条件满足的可行域,如图中阴影所示,将目标函数化为y=-16x+z6,结合图象可知,当目标函数线平移到过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为18.故选C.3.(2015天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.-10B.6C.14D.18答案:B解析:第一次循环,i=2,S=20-2=18,不满足判断框条件,进入循环体;第二次循环,i=4,S=18-4=14,不满足判断框条件,进入循环体;第三次循环,i=8,S=14-8=6,满足判断框条件,
4、结束循环,输出S.因此,输出S的值为6.4.(2015天津,理4)设xR,则“|x-2|0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为|x-2|1等价于1x0等价于x1,所以“|x-2|0”的充分而不必要条件.5.(2015天津,理5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.83B.3C.103D.52答案:A解析:由相交弦定理,得CMMD=AMMB,CNNE=ANNB.因为M,N是弦AB的三等分点,所以AM=MN=NB,MB=AN.所以AMMB=A
5、NNB.所以CMMD=CNNE,即24=3NE,解得NE=83.6.(2015天津,理6)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x221-y228=1B.x228-y221=1C.x23-y24=1D.x24-y23=1答案:D解析:因为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,所以2ba=3.又因为抛物线y2=47x的准线为x=-7,所以c=a2+b2=7.由,得a2=4,b2=3.故所求双曲线的方程为x24-y23=1.7.(2015天津,理7)已知定义在R
6、上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cba答案:C解析:因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,所以对任意的xR,都有f(-x)=f(x),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1对xR恒成立,所以m=0,即f(x)=2|x|-1.所以f(x)在0,+)上为增函数.又f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),f(2m)=f(0),且0log23log25,所以f(0)f(log23)f(log25),即f(2m)f(log0.5
7、3)f(log25).所以ca2,函数g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.74,+B.-,74C.0,74D.74,2答案:D解析:由f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x2,得f(x)=2+x,x2,f(2-x)=2+2-x,2-x2=x2,x2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x2.因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b74,2时,函数y=b与y=
8、f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2015天津,理9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案:-2解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.(1-2i)(a+i)是纯虚数,a+2=0,且1-2a0,a=-2.10.(2015天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.答案:83解析:由题中三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱组成,其体积V=21
9、3121+122=83.11.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案:16解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由y=x2,y=x,得x=0,y=0或x=1,y=1.故所求面积S=01 (x-x2)dx=12x2-13x301=16.12.(2015天津,理12)在x-14x6的展开式中,x2的系数为.答案:1516解析:由题意知Tr+1=C6rx6-r-14xr=C6rx6-2r-14r.令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系数为C62-142=1516.13.(2015天津,
10、理13)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为.答案:8解析:SABC=12bcsin A=12bc1-cos2A=12bc154=315,bc=24.又b-c=2,a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc-14=4+224+1224=64.a为ABC的边,a=8.14.(2015天津,理14)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=BC,DF=19DC,则AEAF的最小值为.答案:2918解析:由题意作图如图,则AE
11、=BE-BA=BC-BA,AF=DF-DA=DC9-DA.四边形ABCD是等腰梯形,易知DC=12AB=1,AD=BC=1,ABC=60,DCB=120,且0.AFAE=DC9-DA(BC-BA)=DCBC9-DCBA9-DABC+DABA=1911cos 120-1912cos 180-11cos 120+12cos 60=-118+29+2+1=1718+29+21718+2292=2918,当且仅当=23时等号成立.故应填2918.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(2015天津,理15)已知函数f(x)=sin2x-
12、sin2x-6,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-6.所以,f(x)的最小正周期T=22=.(2)因为f(x)在区间-3,-6上是减函数,在区间-6,4上是增函数,f-3=-14,f-6=-12,f4=34.所以,f(x)在区间-3,4上的最大值为34,最小值为-12.16.(本小题满分13分)(2015天津,理16)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运
13、动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)由已知,有P(A)=C22C32+C32C32C84=635.所以,事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望
14、E(X)=1114+237+337+4114=52.17.(本小题满分13分)(2015天津,理17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=5,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13,求线段A1E的长.解:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,
15、0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M1,12,1,N(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.MN=0,-52,0.由此可得MNn=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)AD1=(1,-2,2),AC=(2,0,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则n1AD1=0,n1AC=0,即x1-2y1+2z1=0,2x1=0.不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则n2AB1=0,n2AC=0,又AB1=(0,1,2)
16、,得y2+2z2=0,2x2=0.不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=n1n2|n1|n2|=-1010,于是sin=31010.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为31010.(3)依题意,可设A1E=A1B1,其中0,1,则E(0,2),从而NE=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos=NEn|NE|n|=1(-1)2+(+2)2+12=13,整理得2+4-3=0,又因为0,1,解得=7-2.所以,线段A1E的长为7-2.18.(本小题满分13分)(2015天津,理18)已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1
17、),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn=log2a2na2n-1,nN*,求数列bn的前n项和.解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=2n-12;当n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=2n2.所以,an的通项公式为an=2n-12,n为奇数,2n2,n为偶数.(2)由(1)得bn=log
18、2a2na2n-1=n2n-1.设bn的前n项和为Sn,则Sn=1120+2121+3122+(n-1)12n-2+n12n-1,12Sn=1121+2122+3123+(n-1)12n-1+n12n,上述两式相减,得12Sn=1+12+122+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-22n-n2n,整理得,Sn=4-n+22n-1.所以,数列bn的前n项和为4-n+22n-1,nN*.19.(本小题满分14分)(2015天津,理19)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),离心率为33,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=b24截得的线段
19、的长为c,|FM|=433.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解:(1)由已知有c2a2=13,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有kck2+12+c22=b22,解得k=33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2+y22c2=1,直线FM的方程为y=33(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-53c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为c,233c.由|FM
20、|=(c+c)2+233c-02=433,解得c=1,所以椭圆的方程为x23+y22=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=yx+1,即y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程联立y=t(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=6-2x23(x+1)22,解得-32x-1,或-1x0.设直线OP的斜率为m,得m=yx,即y=mx(x0),与椭圆方程联立,整理可得m2=2x2-23.当x-32,-1时,有y=t(x+1)0,于是m=2x2-23,得m23,233.当x(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此m0,于是m=
21、-2x2-23,得m-,-233.综上,直线OP的斜率的取值范围是-,-23323,233.20.(本小题满分14分)(2015天津,理20)已知函数f(x)=nx-xn,xR,其中nN*,且n2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)g(x);(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|0,即x1时,函数f(x)单调递增;当f(x)1时,函数f(x)单调递减.所以,f(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.(2)证明:设
22、点P的坐标为(x0,0),则x0=n1n-1,f(x0)=n-n2.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f(x0)(x-x0),即g(x)=f(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f(x0)(x-x0),则F(x)=f(x)-f(x0).由于f(x)=-nxn-1+n在(0,+)上单调递减,故F(x)在(0,+)上单调递减.又因为F(x0)=0,所以当x(0,x0)时,F(x)0,当x(x0,+)时,F(x)0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)F(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有
23、f(x)g(x).(3)证明:不妨设x1x2.由(2)知g(x)=(n-n2)(x-x0).设方程g(x)=a的根为x2,可得x2=an-n2+x0.当n2时,g(x)在(-,+)上单调递减.又由(2)知g(x2)f(x2)=a=g(x2),可得x2x2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx.当x(0,+),f(x)-h(x)=-xn0,即对于任意的x(0,+),f(x)h(x).设方程h(x)=a的根为x1,可得x1=an.因为h(x)=nx在(-,+)上单调递增,且h(x1)=a=f(x1)h(x1),因此x1x1.由此可得x2-x1x2-x1=a1-n+x0.因为n2,所以2n-1=(1+1)n-11+Cn-11=1+n-1=n,故2n1n-1=x0.所以,|x2-x1|a1-n+2.
